高阶多元Markov链及其非负张量模型的理论与数值分析

High dimensional Markov chains are popular models for studying many real world systems such as queueing networks, manufacturing systems and also categorical data sequences. Suppose we are given an irreducible Markov chain, it is well-known that the Perron-Frobenius's theorem guarantees the existence and the uniqueness of the stationary probability distribution. This probability distribution is important for the performance analysis of many practical systems. However, in many real applications, one has to employ the multivariate, higher-order or higher-order multivariate Markov chain in constructing an effective mathematical model. In a conventional model of multivariate or higher-order multivariate Markov chains having s chains, the total number of states grows exponentially with respect to number of chains s or the order of the model. Some approximate first-order models have been proposed to handle this high dimensionality problem. However, they cannot capture the long-range dependence of the data sequences. In this project, we will study the models for multivariate, higher-order or high-order multivariate Markov chains and their applications, and apply the nonnegative tensor to model the higher-order or higher-order multivariate Markov chains. We will also propose simplified models in case the high-order models overfit the practical data. The simplified models can also capture the negative correlations among the data sequences. We will then extend the Perron-Frobenius's theory to the high-order and multivariate Markov chain and nonnegative tensor models, the perturbation analysis for (joint) stationary distributions of these models will also be studied. The theory of the nonnegative tensor relative to the higher-order Markov chains will be discussed. The efficient algorithms and the mathematical analysis will be developed for solving the model parameters and the distribution vector. The developed models will then be applied to some practical problems such as genetic regulatory networks and common and non-common objects in multiple networks etc.

高维Markov链是研究排队网络、制造系统和无条件数据序列等现实世界中流行的模型。概率分布对许多实际问题的分析有重要的作用。人们常常应用高阶、多元与高阶多元Markov链去建立许多实际问题的有效的数学模型。多元与高阶多元Markov链有s条链，状态的数目根据链和阶的个数呈指数级的增长，一些近似一阶的方法被应用于处理高维问题。然而，它们不能获得数据序列的长效的性态。本项目研究高阶、多元与高阶多元Markov链及其应用，并且建立相关的高阶张量模型。同时也建立一些简化模型，这些简化模型也可以获得数据序列间的负相关性。然后，我们将对这些高阶多元Markov链和非负张量推广Perron-Frobenius理论。我们将讨论各种模型的（联合）平稳概率分布的扰动分析，对应于高阶Markov链的非负张量理论以及解各种模型的参数和分布向量的有效算法和数学分析。我们也会应用所得到的模型到各类实际问题中。

本项目主要研究有关的Markov链问题，它在数据分析、排队网络、基因调控网络、金融模型等等问题的研究有重要的作用。项目在学术期刊上《SIAM J Matrix Anal. Appl》、《Numerische Mathematik》、《Numerical Lin. Alg. Appl.》、《IET Syst. Biol.》、《BMC Bioinformatics》、 《J. Comput. Appl. Math.》、《Comput Optim Appl.》等发表学术论文46篇，其中被SCI 收录共43篇。项目的成果主要有：对多元Markov链模型，给出联合平稳概率分布向量的扰动分析，建立了高阶、与高阶多元Markov链的非负张量模型。在建立的模型理论分析方面，给出了建议的模型的极限(平稳)概率分布向量的存在性、极限(平稳)概率分布向量的唯一性的充分条件；给出了多随机张量的极点的等价条件，讨论了一般高阶张量的逆，特征值问题和数值域。在数值分析方面，讨论各种模型的（联合）平稳概率分布的扰动分析，给出了求解平稳概率分布向量的不动点算法、求解多随机张量的极点张量的算法和求解张量数值域的算法。在应用方面，讨论了利用(隐含)Markov链研究基因调控网络和基因概率布尔网络等等问题。另外，研究矩阵计算中的有关矩阵方程的算法、敏感与稳定性分析和线性互补问题的数值分析等等。项目的成果丰富、有较好的创新性、算法效果好。项目部分成果发表后受到国内外有关学者的关注，被SIAM J. Matrix Anal.、Numer. Lin.Alg.Appl.、J. Math. Anal. Appl., Lin.Alg.Appl.等发表的文章多次引用。项目起到培养年青老师和学生的作用，项目执行期间培养博士后1人、在站博士后1人，这两个博士后都获得中国博士后基金, 其中一个获国家基金青年基金；2人获得博士学位，他们博士毕业后都分别获得国家自然科学基金青年基金；项目组中两人分别获得国家基金面上项目2项、两年青成员分别获国家自然科学基金青年和天元基金、一人获广东省高校创新团队基金1项。项目研究成果达到了预期的目标。