Kirchhoff方程奇异摄动问题的研究

Singularly perturbed elliptic Kirchhoff problems are a class of problems that obtained extensive research in recent years. Comparing with the classical Schrödinger equations, Kirchhoff equations have a new feature: Non-locality. This new feature makes it difficult to apply the well known Lyapunov-Schmidt reduction method to study these problems. Due to the same reason, only single-peak solutions for these problems are obtained in the literature through variational methods. Based on the latest research progress on Kirchhoff equations, in this program, we will overcome the difficulty brought by the non-locality, and further develop the reduction method so as to study nonlocal problems of Kirchhoff type. More precisely, this program will be devoted to study the existence of multi-peak solutions (including single peak solutions) of singularly perturbed elliptic Kirchhoff equations under different potentials, and also study concentration, local uniqueness of peak solutions, and furthermore study the symmetry of peak solutions based on these results. Through the implementation of this program, we wish to establish basic methods for the research of nonlocal singular perturbation problems.

椭圆型Kirchhoff方程奇异摄动问题是近年来备受关注的一类问题。与经典的Schrödinger方程相比，Kirchhoff方程具有非局部性的新特点。这一特点导致熟知的Lyapunov-Schmidt约化方法难以直接应用，并使得在已知的文献中，关于这一类问题只有基于变分方法的单峰解的存在性结果。基于Kirchhoff方程研究的最新进展，在本项目中，我们将克服Kirchhoff方程非局部性所带来的困难，进一步发展Lyapunov-Schmidt约化方法，使之适用于研究Kirchhoff方程类型的非局部问题。具体来说，本项目将研究椭圆型Kirchhoff方程奇异摄动问题在不同位势条件下多峰解（及单峰解）的存在性，集中性与局部唯一性，并在此基础上进一步研究解的对称性等相关问题。通过实施本项目，我们希望能对非局部奇异摄动问题建立比较基本的研究方法。

Kirchhoff方程具有强烈的物理背景。在研究D’Alembert关于弹力弦自由振动的波方程时，物理学家Kirchhoff 首次提出了这种类型的波动方程。另一方面，从数学理论来看，椭圆型Kirchhoff方程可以看作是经典的Schrödinger方程的一种非局部推广。研究Kirchhoff方程可以看作Schrödinger方程的研究的深化，及其在非局部问题方面的推广。. 在本项目提出之前，国际上研究椭圆型Kirchhoff方程的专家不多，比较有名的如中科院的张志涛教授，华中师范大学的彭双阶教授等，都在这方面做出了很多优秀的结果。当时一个公开并且基本的问题是，下述方程.-(a+b∫_(R^3)|∇v|^2 )∆v+v=v^p in R^3 .正解的非退化性和唯一性否成立？说这个问题基本，是因为对应的奇异摄动问题，包括其他相关的问题都需要用到这样的结果。. 本项目的主要研究内容就是考虑上述方程的正解的唯一性和非退化性，并进而在上述基础上研究对应的奇异摄动问题单峰/多峰解的存在性唯一性，甚至进而研究一般的非线性奇异摄动问题。. 本项目成功完成上述任务。在我们发表的JDE的论文中，建立了上述方程正解的唯一性和非退化性，并应用这个结果证明了相应的奇异摄动问题单峰解的存在性和唯一性。在我们发表于Edinburgh数学杂志的论文中，我们解决了对应的多峰解存在性和唯一性的问题。非线性Kirchhoff方程的多峰解问题也有同学受到我们多峰解的启发而给出了解决方案。. 2020年发表出来至今不到一年时间，已经累计有5次引用了，相信随着时间的推移会有更多的人在我们的论文基础上做出进一步的贡献。