非交换几何及其在表示论，规范理论的应用

A key feature of modern mathematics is to use tools from a branch to study and relate other branches of mathematics. This project is to develop new areas in mathematics by applying methods in noncommutative geometry and operator algebras to some classical fields in mathematics. The aim is to build bridges amongst different fields of mathematics and strengthen their communications and enhancing development of operator algebra. This project is to investigate index theory of elliptic operators and K-theory, and to develop deeper relations to representation theory, Langlands program, gauge theory and moduli spaces, and to introduce methods of operator algebra and index theory in several other very important areas in mathematics, such as differential geometry, low dimensional topology and representation theory.

现代数学的发展的重要特征是通过一个分支找寻和其他各分支的联系。本项目的目的是开辟用非交换几何，算子代数的方法解决其他领域中问题的新方法，增进纯数学各分支的交流，促进各分支，尤其是算子代数的发展。本项目通过研究椭圆算子的指标理论，K理论与表示论，朗兰兹纲领的联系，以及和规范理论中的模空间的联系，把算子代数和若干其他纯数学里的重要领域，如几何，低维拓扑，以及表示论在指标理论的框架中联系起来。

群C^*-代数的K-理论是非交换几何的中心研究对象之一，Baum-Connes猜测断言其可由抽象椭圆算子的高指标算得。本项目考察约化群，以及闭流形的基本群等两个类别，利用非交换几何的工具研究分别得到其K-理论在表示论与规范理论中的应用。重要结果包括：1. 引入群C^*-代数的轨道积分，发现其与群特征公式的联系；2. 表示论中的著名的Selberg迹公式的K-理论的表达；3. 给出非余紧作用的指标的新算法；4. 用非交换几何的语言提出并研究纽变Donaldson不变量。项目从几个有代表性的情形揭示了非交换几何的方法在表示论，规范理论相关问题的威力，促进了几个基础数学领域的交流，融合，并提供了一些创新的思路，另一方面，项目成果增进了负责人对非交换几何的中最重要的公开问题之一，即Baum-Connes猜测的理解。