求解传染病模型的高精度非标准有限差分方法的构造及其应用

Human is under the serious threat of sorts of infectious diseases. Because of some existing characteristics, mathematical models have become the necessary tools to forecast and control the epidemic disease. The key points of this project are to construct nonstandard finite difference schemes to solve epidemic models and to study the property of the numerical solutions, and to provide effective tools of scientific computation and numerical simulation for epidemic models. The numerical discrete system, constructed by nonstandard finite difference methods, can not only keep the basic dynamics characteristics of the epidemic models such as the positivity of solutions, the stability of the fixed points, but also can effectively reduce the complexity of the algorithm and the amount of calculation. Firstly, we will study the exact finite difference schemes for the differential equations which exist the analysis solution, and summarize the rules of constructing nonstandard finite difference methods. Then, we will construct the high accuracy numerical schemes to obtain the numerical solution of epidemic models, by the local exact discrete and by combining nonstandard finite difference schemes with numerical integration method of outstanding past. Then, we will analyze the convergence of the algorithm, and the dynamic behavior of the discrete system by the construction of the discrete Lyapunov functions. This study can enrich the theory of the numerical of differential equations, which has the important theory significance, but also has important practical significance for the prevention and control of the disease spread.

人类长期面临着各种传染病的严峻威胁。一些既定的特征使得数学模型成为对传染病进行预测及控制的必要工具。构造适用于求解传染病模型的非标准有限差分方法并研究其数值解的性质，为传染病模型的科学计算和数值仿真提供有效的工具是本课题的重点。由非标准有限差分方法构造的数值离散系统不仅能很好的保持传染病模型解的正性、不动点的稳定性等基本的动力学特性，而且能有效地降低算法的复杂度、减少计算量。本项目首先分析研究一些解析解存在的微分方程的精确差分格式，总结非标准有限差分的构造规则。然后，采用局部精确差分的方法，非标准有限差分方法与以往的优秀的数值积分方法相结合的方法等构造求解传染病模型的高精度数值算法，分析算法的收敛性，并通过构造离散的Lyapunov函数等方法研究数值离散系统的动力学行为。本课题的研究能够丰富微分方程的数值理论，具有重要的理论意义，而且对人们预防和控制疾病的传播具有重要的实际意义。

本项目主要构造了求解传染病模型等重要的微分方程的高效的非标准有限差分方法，并详细分析了非标准有限差分方法保持原连续系统的动力学行为的能力。具体内容包括：（1）应用非标准有限差分方法研究了一类连续的多种群SIR传染病模型，该方法可以无条件保持相应的连续模型的解的正性、平衡点的存在性和平衡点的全局渐近稳定性；（2）构造了一类非标准有限差分方法求解一类对流扩散反应方程，证明了该方法可以保持连续系统解的正性和有界性；（3）分别针对一维和二维的FitzHugh-Nagumo方程的离散格式构造了非标准差分方法，并研究了离散格式的动力学行为；（4）构造了两种非标准有限差分方法求解一类广义的Fisher-KPP方程，证明了该方法可以保持解的正性、有界性和单调性；（5）针对含有不变量的随机微分方程，分别构造了一类保持其不变量的离散梯度方法和线性映射方法，并对所构造的数值方法进行详细的理论分析。（6）研究了描述草原和森林转换的微分方程模型，采用修正的Hill函数作为牧草丰富度对火灾频率的非线性反应项，对模型的全局动力学性质进行了完整的分类。针对不同的模型，项目组构造了动力相容的数值方法，并且利用大量具有实际应用背景的例子具体仿真，验证数值方法的有效性。