Lie群与微分方程的可积性

Lie群理论在非线性微分方程的研究中起着非常重要的作用, 其强有力的无穷小分析技巧, 即对称技巧已经被广泛的应用到数学物理和力学问题中. 而微分方程的可积性是微分方程研究领域的一个重要课题. 因此, 利用Lie群理论来研究微分方程的可积性是一个非常重要的研究课题. 本项目中, 我们拟研究Lie对称群、广义对称群与微分方程的可积性之间的联系, 具体如下: (1)考虑利用广义对称得到微分方程的积分因子, 进而研究微分方程的可积性, 并给出所得到的积分因子结果与标准的阶的约化过程之间的联系; (2)考虑利用Lie对称、广义对称得到更一般的微分形式的积分因子的存在性, 进而研究微分形式的可积性; (3)考虑利用广义对称得到微分系统的可积性, 并以此对微分系统加以分类.

Lie群理论是Sophus Lie在19世纪末期研究微分方程的求解过程时引入的，它在非线性微分方程的研究中起着非常重要的作用。而微分方程的求解和可积性问题是微分方程研究领域的一个重要课题。因此，利用Lie群理论来研究微分方程的求解和可积性是一个非常重要的研究课题。本项目中，我们主要研究了λ-对称与常微分方程的积分因子，首次积分以及可积性的关系，并给出了所得到的积分因子结果与标准的阶的约化过程之间的联系；研究了二阶以及三阶常微分方程的特殊形式所存在的Lie对称，并由此对方程进行约化，进而对可用此方法约化的方程加以分类；研究了Henon-Heiles系统的Lie对称的分类，并进一步利用可解结构给出该系统在特定参数条件下阶的约化过程；研究了一类Kuramoto-Sivashinsky方程以及一类改进的Boussinesq方程的Lie对称群的存在性，并得到了相应的群不变解。