Sobolev空间的多小波采样定理及相关问题研究

本申请项目将研究以下两个问题：(1) 高维Sobolev空间H^s(R^d)上多小波采样定理的建立，其中s＞1/2；相应采样级数的截断误差估计。（2）应用Sobolev空间上多小波采样定理，给出连续信号多小波插值的误差估计以及误差校正方法，从而使重构信号更为接近真实信号。.Sobolev空间理论与诸多数学、工程学科有密切联系，研究Sobolev空间的采样定理有重要意义。本项目以Sobolev空间为基础，研究其上多小波采样定理，探寻新的研究方法，期望得到一些重要的理论成果。

在数字信号通讯中，信号的离散化和重构是至关重要的环节，它们与数据采样有密切联系。因此，采样定理是现代脉冲编码调制通讯系统的基础。不仅如此，采样定理在采样控制理论、调和分析、学习理论等领域也有着广泛应用。Shannon采样定理是最经典的采样理论，但只适用于带限信号。近年来，数学家和工程师建立了能量有限空间L^2(R^d)的小波子空间的众多采样定理，但相关理论不适用于整个空间的信号精确重构。该项目主要研究Sobolev空间的信号采样定理以及采样级数的收敛速度、伪样条以及复小波构造等问题。项目组在此问题上取得的成果有：建立了高维非带限信号的类Shannon采样定理，利用Sobolev指数估计采样级数的收敛速度，相关结论被《Science China Mathematics》录用；利用投影算子方法，建立了解析信号的解析采样逼近，相关结论被《International Journal of Wavelet, Multiresolution and Information Processing》接受；非平凡地拓展了多小波采样定理并基于Sobolev光滑估计采样级数的收敛速度，相关结论发表在《数学学报》上；构造了一类3伸缩的对称正交复小波，并研究相应逼近问题，相关结论发表在《Acta Mathematica Scientia》上；构造一类伪样条并研究相应逼近阶以及光滑性，相关结论发表在《中国科学•数学》。