小波框架与采样理论

框架是Duffin和Schaeffer在研究非调和Fourier级数时提出来的，它是正交基的推广，在函数论、偏微分方程、视觉分析、模式识别、量子力学、理论物理等众多领域取得重要的应用。离散小波系统构成框架的条件是小波框架研究中的一个基本问题，目前已经给出紧框架的充要条件，我们将研究一般框架的充要条件，给出一般小波框架的特征刻画。齐次逼近性质是框架的一个重要性质，我们将研究高维小波框架和连续小波变换的齐次逼近性质，寻找齐次逼近误差的定量估计，并考虑Lp空间的齐次逼近问题。采样理论是现代脉冲编码调制通信系统的理论基础，也是信号分析中不可或缺的基本工具之一。由于应用（如无线通信）中一般只关心信号在一段时间内的变化情况，因此，局部采样理论更能反映实际需要。我们将研究时间有限函数空间上的局部采样问题，寻找局部采样定理成立的充分必要条件；研究频谱有限函数的局部近似恢复等。

框架是Duffin和Schaeffer在研究非调和Fourier级数时提出来的，它是正交基的推广。近年来，随着小波分析的发展，框架理论越来越受到人们的重视。在短短的十几年内，框架理论已经在函数论、偏微分方程、量子力学、理论物理等众多领域取得了重要的应用。离散小波系统构成框架的条件是小波框架研究中的一个基本问题，也是国际上的研究热点。我们得到离散小波系统构成框架的一个必要条件，并证明这一条件对于整数伸缩小波框架也是必要的；研究了小波框架的齐次逼近性质，对一大类矩阵伸缩小波框架证明其具有齐次逼近性质；研究了Calderon重构公式的黎曼和逼近，证明当采样密度充分大时相应黎曼和在加权Lebesgue空间，Besov空间和Triebel-Lizorkin空间中收敛，并将这一结果进一步推广到一般的Calderon-Zygmund算子列的收敛性，给出这类算子在加权Lebesgue空间，Besov空间和Triebel-Lizorkin空间中收敛的充分条件；我们给出窗口傅立叶变换一个反演公式的收敛性证明，并考虑了相应黎曼和的收敛性，证明当采样密度足够大时可以用单重级数重构原函数，简化了窗口傅立叶变换逆变换的计算。对于采样理论，主要研究了平移不变子空间上的局部采样，证明在一定条件下可以由局部采样值局部精确重构原始信号；把平均采样理论应用于频谱有限信号的降噪，得到一种新的降噪方法。本项目共完成16篇学术论文，全部在SCI期刊发表或被接受发表。