利用时间域采样构造信号的高精度、快速的非线性傅里叶原子逼近

While linear Fourier atoms can not reveal efficiently the time-varying features of a non-stationary signal, nonlinear Fourier ones can do very well. Approximating a signal by nonlinear Fourier atoms is completed by analytic samples. However, the samples we acquire in practice are time samples but not the analytic ones. Therefore, it is of great importance to establish the nonlinear Fourier atom-based approximation to a signal by its time samples. However, it has not been solved that how to use the samples at a time period to construct the fast and high accurate approximation to a multidimensional periodic signal. By using the time samples and Möbius multiscale atoms, our project will solve this problem. For this purpose, we focus on the following three contents: (1) Making use of the multiscale time samples of a signal, we shall establish a method for acquiring its analytic samples. (2) Making use of the Möbius multiscale atoms, we shall establish a high accurate approximation to a multidimensional periodic signal. (3) Under the approximation by Möbius multiscale atoms, we shall establish its fast numerical algorithm for the values of a signal at nonequispaced points. Above all, based on the time samples and Möbius multiscale atoms, our purpose is to establish the nonlinear Fourier atom approximation to a signal. Our approximation is fast and of high accuracy. Moreover, our fast algorithm can preserve the time-varying features of the related nonlinear Fourier atoms. Therefore, our approximation has great merits for fast and high accurately revealing the time-varying features of a signal.

线性傅里叶原子难以揭示非平稳信号的时变特征，而非线性傅里叶原子在该问题上取得了很好的效果。非线性傅里叶原子的信号逼近需要解析采样，然而，实际获取的经常是时间采样。利用时间采样构造信号的非线性傅里叶原子逼近，具有重要意义。如何利用时间周期上的采样，构造高维周期信号的高精度、快速的非线性傅里叶原子逼近，该问题尚未解决。本项目利用时间周期上的采样以及Möbius多尺度原子，来解决这个问题。重点研究以下内容：(1)利用信号的时间周期的多尺度采样，构造多尺度解析采样的高精度、快速提取；(2)构造高维周期信号的高精度Möbius多尺度原子逼近；(3)在Möbius多尺度原子逼近下，建立非等距点处信号值的快速算法。本项目旨在利用时间采样和Möbius多尺度原子，构造高维信号的高精度、快速的非线性傅里叶原子逼近，其快速算法能保留非线性原子的时变特征，从而对于高精度、快速地揭示信号时变特征，具有重要意义。

本项目主要研究，基于时间域采样构造信号的高精度、快速的非线性傅里叶原子逼近。围绕该问题，我们开展了以下几方面的研究。（1）当光滑指数s>d/2时，Sobolev空间H^s(R^d)上的信号是连续的；光滑指数的此要求对于连续信号而言，是十分弱的。在其傅里叶级数满足很弱的收敛条件下，周期连续信号在一个周期上的限制，本质上属于Sobolev空间。Sobolev空间的信号采样理论，通常仅适用于带限信号空间、平移不变子空间、再生核空间等Sobolev空间的子空间。本项目利用小波多尺度方法，构造了适用于整个Sobolev空间上的信号的非均匀采样逼近；该逼近级数关于尺度因子是指数阶收敛的。（2）非线性傅里叶原子的一个显著特征是，具有非线性的瞬时相位和瞬时频率。基于非线性傅里叶原子的表示，能有效地刻画信号（尤其高度震荡信号）的瞬变性质。非线性傅里叶原子与周期信号的内积，往往可以表示成解析采样，然而，实际问题中得到的采样是时间域采样。周期信号本质上与其在一个周期上的限制一对一对应，本项目基于Sobolev空间的时间域采样逼近理论，建立了周期信号的解析采样的高精度、快速提取方法；相关的计算复杂度与快速傅里叶变换相同。（3）综合Möbius原子表示以及多尺度方法，本项目构造周期信号的高精度、快速的解析采样逼近；相关逼近级数关于尺度因子是指数收敛的，计算复杂度与快速傅里叶变换相同。（4）由于光的波长短、传播速度快等原因，往往难以测量它的相位，另一方面，相位包含信号的丰富信息。为此，相位恢复问题---利用无相位测量来恢复信号，在光学上具有重要的实际意义。随着研究的深入，我们开展研究与本项目相关的两个相位恢复问题。首先，建立了基于无相位数据的逆离散Hilbert变换（IDHT）。现有的有限维相位恢复条件--complement property不适用于IDHT，在无相位数据属于函数型数据的条件下，我们基于DHT的步长信息，建立了无相位IDHT，并把相关结论应用于平移不变子空间上信号的相位恢复。其次，基于多元sinc函数，解决了Sobolev空间上实信号相位恢复的唯一性问题。