Sobolev空间上Framelets理论及相关问题研究

本项目将研究以下四个问题：(1) Sobolev空间上Framelets/ Multiframelets的构造。Framelets的构造是小波分析理论的基础问题。本项目希望给出若干类Sobolev空间上小波框架的构造算法。(2) Sobolev空间上小波框架、双向小波框架的性质。希望得到诸如对称性、插值性、正则性和高逼近阶等性质。特殊情形下，建立Sobolev空间上的采样定理。(3) Sobolev空间上基于分形插值函数生成多小波框架的理论和算法。(4) 将Sobolev空间上的小波框架应用于分形理论、信号处理等学科领域，解决一些具体问题。.Sobolev空间理论与诸多数学学科有密切的联系，研究Sobolev空间上的小波框架有着重要意义。本项目以Sobolev空间为基础，研究其上的小波框架理论及应用，探寻新的研究方法，期望得到一些重要的理论和应用成果。

1. 研究Sobolev空间多小波序列的Bessel性质。在H_s(Rd)空间, Bessel多小波序列的条件不同于Bessel 单小波序列,Bessel多小波序列与多小波函数和相应的多加细函数向量都有关系。构造了一类具有高阶光滑和高求和规则的Bessel M-加细函数向量。基于所构造的Bessel加细函数向量，给出了对偶M-多小波框架的显式构造。.2. 研究了R_s (s>1)情形下的双向加细函数和双向小波函数构造问题。给出双向加细函数属于L_2(R_s)空间的充分条件。给出一类双正交（正交）对称多小波构造方法。得到了L_2(R_m)空间的对偶双向小波框架。讨论了整数伸缩因子的高阶平衡多小波的构造问题。.3. 研究 L^2(R^n) 上一般伸缩矩阵的半正交多小波框架理论, 并讨论相应的性质。证明了半正交 Parseval 多小波框架与 GMRA Parseval 多小波框架的等价性。.4. 讨论了拟Hermite插值向量加细函数，并将其应用到信号的恢复处理中。建立了相应的采样定理。.5. 建立了一个新的与广义插值加细函数向量有关的采样定理，拓展了已有采样定理的适用范围。.6. 基于伪样条理论，给出逼近阶为奇整数时, 3带紧支撑正交对称尺度函数一个简单构造算法，并给出了相应小波的显示构造方法。对于逼近阶2，得到了一类3带紧支撑正交对称复尺度函数的构造。.7. 研究一类方程的多项式解。基于这种解，给出4-带加细方程的一类显式构造。另外, 给出正交对称的shearlet紧框架的一个简单构造算法。.8. 讨论不规则多Gabor框架的性质，并对其进行刻画。对于非线性Gabor系统，给出了非线性Gabor系统中的Balian-Low定理一个新证明。.9. 提出Banach空间上的SIP-I 和SIP-II X_d框架概念。建立了Banach空间上的原子分解公式，并得到了元素恢复公式，讨论了Banach空间上的扰动问题。.10. 基于分形插值曲面在R2的矩形区域上拟合一个给定的连续曲面，并研究拟合误差问题, 得到了拟合误差的上界估计。.11. 基于一类广泛使用的迭代函数系（IFS），构造了一类具有变量参数的IFS，证明了这类IFS能生成具有更多灵活性的分形插值函数。.12. 构造了一种基于混沌的具有有效置换--扩散机制的图像加密算法。