仿射微分几何中四阶偏微分方程整体解的研究

仿射微分几何是微分几何中十分重要的研究分支之一，对于它的研究，经常会涉及到一些四阶非线性偏微分方程。由于此类方程的研究难度很大，目前关于它的理论还很不成熟，因此，需要发展新的、重要的理论和方法。本项目拟利用几何方法研究这类方程整体解的唯一性问题。具体研究内容如下：当一个Graph超曲面的Kahler度量满足Kahler-Ricci平坦方程时，研究超曲面的一些Bernstein问题；证明一类相对仿射极值曲面、相对抛物型仿射球关于各种度量完备时的刚性定理。基本思想是：利用极大值原理和完备性证明几何不变量在整个流形上消失，从而把四阶方程化为二阶Monge-Ampere方程，然后利用完备抛物型仿射球的理论来证明四阶方程整体解的唯一性。本项目希望通过对这类问题的研究，发展一些新的研究四阶非线性偏微分方程的方法和技巧，有助于我们更多地理解这类方程及相关的几何理论。