完备仿射超曲面的Bernstein问题及其在平均曲率流中的应用

Affine differential geometry is one of important branches of differential geometry. Complete affine hypersurfaces is an important part of affine differential geometry. Because it involves deep theories of nonlinear partial differential equations, the specialists in PDEs and the geometers have always concerned with them. As such problems are very difficult, known knowledge on this aspect is limited up to date. The current theory is still immature, so it is urgent that we need to develop some new theories and methods. The project intends to use affine geometric methods to study the Bernstein problems of complete affine hypersurfaces, and the classification of complete solitons to the related mean curvature flows. Our specific research contents are as follows:.1.Bernstein problems of alpha relative hypersurfaces, eg. affine maximal hypersurfaces and alpha relative affine extremal hypersurfaces;.2.Classification of spacelike entire translating solitons to the mean curvature flow in pseudo-Euclidean space; .3.Construction and classification of solitons to the affine mean curvature flow. .The project aims to achieve substantive progress on this aspect and develop some new methods and techniques. It will be helpful for us to enrich and develop theories of affine differential geometry, submanifold geometry and Monge-Ampère equation.

仿射微分几何是微分几何的一个重要分支。完备仿射超曲面是仿射微分几何的重要组成部分，涉及到很多深刻的非线性偏微分方程，历来受到几何学家与偏微分方程学家的重视。由于所涉及问题的研究难度较大，目前理论还很不成熟，所以急需发展新的理论和方法。本项目拟利用仿射技巧研究完备仿射超曲面的Bernstein问题，以及一些相关的平均曲率流的完备孤立子(soliton）的分类问题。具体研究内容如下：1．alpha相对超曲面的Bernstein问题，其中包括仿射极大超曲面、仿射Kähler极小曲面的Bernstein问题等；2.伪欧氏空间中平均曲率流的类空entire translating soliton的分类问题；3．仿射平均曲率流的完备soliton的构造以及分类问题。本项目将发展一些新的方法和技巧，进而丰富和发展仿射微分几何、子流形几何和Monge-Ampère方程的理论。

仿射微分几何是微分几何的一个重要分支。仿射超曲面的研究是仿射微分几何的重要组成部分，涉及到很多深刻的非线性偏微分方程。根据项目申请书及目标任务书所设定的研究内容和研究目标，本项目主要利用仿射技巧研究完备仿射超曲面的Bernstein问题，以及一些相关的平均曲率流的完备孤立子(soliton)的分类问题。在项目获批以来，项目负责人及课题组的其他成员围绕相应的研究目标和内容积极开展工作，获得了一系列有意义的研究成果：共发表学术论文17篇，其中16篇在SCI或者SCIE源期刊上发表；并培养1名博士研究生、6名硕士研究生顺利毕业。本项目的研究主要涉及平均曲率流的孤子解及其广义的解(如λ-超曲面、ξ-子流形等)的分类或刚性问题，Calabi几何中具有平行Fubini-Pick张量或具有平行的Tchebychev向量场的Calabi超曲面的分类，非欧氏等参函数及其等参超曲面的研究等问题。在这几个方面，项目组均有较为深入的研究且有重要的进展，取得了一系列有意义的研究成果。特别是，项目负责人完全分类了Calabi几何中具有平行Fubini-Pick形式的Calabi超曲面并发现了Calabi度量完备的或者entire的非平凡Calabi仿射极值超曲面，并完全分类了迷向的Calabi超曲面及平坦的Tchebychev超曲面，还获得了伪欧氏空间中类空平移孤子解的若干刚性定理。项目组成员李兴校教授研究了仿射等参函数和仿射等参超曲面的关系，计算了以一般高余维ξ-子流形为临界点的泛函并得到了这类子流形的变分刻画并引入了W-稳定性的概念， 还获得了在不同的外围空间中平均曲率流的广义的自收缩孤立子和广义的平移孤立子的一系列分类定理。综上所述，本项目的研究目标在整体上已经得到实现。