完备仿射超曲面及其在四阶偏微分方程中的应用

完备仿射超曲面是整体微分几何尤其是仿射微分几何的重要组成部分，涉及很多深刻的高阶非线性偏微分方程问题，历来受到几何学家与偏微分方程学家的关注。由于此类方程的研究难度大，目前理论还很不成熟，所以急需发展新的理论和方法。本项目拟在项目组前期工作的基础上，利用仿射几何的方法和观点研究高阶非线性PDE及Monge-Ampère型方程。具体研究内容：1．仿射极值超曲面的Bernstein问题；2. Lagrange平均曲率流的Bernstein问题；3．极值度量例子以及稳定性；4.高维Abreu方程的内估计。附带地我们会将研究的手段和方法用于解决仿射流形、复几何等领域中的类似问题。以上这些问题都可以化成高阶非线性PDE及Monge-Ampère型方程的研究。本项目旨在对上述研究取得实质性进展的同时，发展一些新的内估计方法和技巧，以便丰富和发展仿射微分几何、Monge-Ampère方程理论。

完备仿射超曲面是整体微分几何尤其是仿射微分几何的重要组成部分，涉及很多深刻的高阶非线性偏微分方程问题，历来受到几何学家与偏微分方程学家的关注。本项目利用仿射几何的方法研究高阶非线性PDE及Monge-Ampère 型方程。按照研究内容、计划我们已完成本项目预定的目标和任务。取得的进展如下：1．我们利用仿射blow-up分析的方法解决了当alpha 的绝对值较大时alpha相对极值超曲面关于alpha度量完备时的Bernstein问题。2.我们观察到Lagrangian子流形从伪欧氏空间诱导的度量正好是它作为仿射空间中超曲面在典型Calabi法化下的相对度量。利用这个事实及仿射技巧，我们解决了伪欧氏空间中Lagrangian平均曲率流的translating soliton关于诱导度量完备的Bernstein问题。另外，我们在假定凸函数的hessian矩阵decay的条件下证明了伪欧氏空间中Lagrange平均曲率流的entire translating soliton的刚性定理。3．对于toric varieties证明了一致的K稳定是极值度量存在的必要条件。4.假定Abreu方程解具有C0估计，证明了任意维数的Abreu方程解的内部正则性。解决了Abreu 方程的具有退化边界的Dirichlet 问题，并利用解给出了复torus上面常数量曲率的Kahler度量的存在性。在假定一致K稳定的条件下研究了n维多面体上的Abreu方程，并给出了任意维数的Abreu方程解的内部估计。