相对仿射微分几何中的 Bernstein 问题

We study the Bernstein property of relative parabolic affine spheres and relative affine maximal hypersurfaces in this project. We also study problems like Bernstein property of Abreu equation where we can employ tools in relative affine differential geometry. The study of relative affine differential geometry is a natural extension of affine differential geometry. The importance of affine spheres and affine maximal hypersurfaces lead us to study relative affine spheres and affine maximal hypersurfaces, especially their Bernstein property. It is well known that Chern’s conjecture and Calabi’s conjecture was solved in dimension two and they are still open problems in higher dimension. We would also like to study their counterparts in relative affine differential geometry.

本项目研究相对仿射微分几何中的Bernstein问题，主要是相对仿射球和相对仿射极大曲面所满足的四阶非线性偏微分方程的Bernstein问题，同时也研究和这些方程相关联的一些偏微分方程（如Abreu方程）的Bernstein问题。在仿射微分几何中，仿射球和仿射极大曲面尤为重要，关于他们满足的偏微分方程的Bernstein性质的研究一直是一个热点。与仿射极大曲面方程相关的陈省身猜想和Calabi猜想二维时已被解决，高维时仍是公开问题，本项目希望对此做出一点突破。由仿射微分几何的研究自然拓展到对相对仿射微分几何的研究中去，此时相对仿射球和相对仿射极大曲面方程的Bernstein问题仍然是非常重要的问题，亟待研究。

项目研究了伪迷向和类空伪迷向的洛伦兹度量的中心仿射超曲面和Calabi超曲面，并对这些超曲面进行了局部分类。迷向子流形问题是微分几何中很重要的一类问题，学者们先后研究了黎曼流形的迷向子流形，迷向的拉格朗日子流形，以及迷向的仿射超曲面。本项目得出了伪迷向的洛伦兹度量的中心仿射超曲面和Calabi超曲面的局部分类，以及三维的类空伪迷向的中心仿射超曲面和Calabi超曲面的局部分类。这类超曲面大部分具有warped product 结构，它们是区间和常截面曲率超曲面的warped product。经过进一步的研究我们得出大部分超曲面的显式表达式。经过分析我们发现二维和三维的类空伪迷向但非伪迷向的超曲面均为中心在原点的二次超曲面，这个结果很接近于项目中提出的Bernstein问题，与项目原来的问题联系密切。