算子代数的酉基、框架及一类新的非自伴算子代数

本项目将有限因子理论中的酉基存在性问题与酉系统的完备游荡向量的结构联系起来，借助于自由概率论在有限因子中的新成果证明具有"弱薄性质"和"C-性质"的有限因子存在酉基；用自由熵的技巧探讨自由群因子中满足某种代数性质的酉基存在性问题；建立有限因子的标准表示空间中的框架与该因子结构之间的联系，证明每个有限因子都存在正规紧酉框架，此将为非交换L^p-空间中的框架研究提供一个新思路。KS-代数是新引入的一类将von Neumann代数、自反算子代数和三角算子代数结合起来考虑的非自伴算子代数，本项目用von Neumann代数中的理论和技巧研究KS-代数的理想结构和标准型，对Ｉ-型KS-代数在保范同构意义下进行分类，证明标准KS-代数的各阶完全有界上同调群是平凡的，所得结果将为KS-代数的进一步研究奠定基础。

本项目按照计划书进行工作，研究了算子代数的酉基、框架和一类非自伴算子代数即Kadison-Singer代数。借助于von Neumann代数中的理论和技巧，本项目对KS代数的结构、分类、上同调群和算子代数间的映射理论进行了探讨，取得了一系列成果：刻画了有限von Neumann代数中双三角投影格所生成自反格的结构和KS性质，并将其与二维球面成功联系起来，此为该自反格赋予了一个几何拓扑结构；此种情形下，也回答了Halmos的有关双三角格自反性问题。在阶数大于2的矩阵代数中，刻画了生成整个代数并且具有连通性的自反投影格的结构，证明了此类自反格恰好是生成整个代数的双三角格所生成的自反格，也恰好是生成整个代数且每个非平凡投影都具有迹为1/2的自反格。引入了“套的单点延拓”和“对角极大代数”的概念，计算了一类KS代数上的系数在B(H)内的各阶上同调群和系数在自身内的一阶上同群，它们都是平凡的，此为KS代数的上同调理论的首个结果；刻画了一类KS代数上的代数自同构，给出了此类自同构是空间的或拟空间的条件。在相似同构意义下，本项目对二阶和三阶矩阵代数的KS格进行了分类，证明了von Neumann代数的投影子空间格的KS性不依赖于该代数的正规忠实的*-表示，引入了von Neumann代数及其子空间格的半自由积运算。此外，本项目在与KS代数相关的非自伴代数如三角代数的导子、（α，β）-导子、Lie导子和Jordan导子等方面也取得了一些成果。在算子代数的酉基和框架理论研究方面，本项目给出了有限因子中Haar酉元的限制的极分解理论，刻画了群射影酉表示von Neumann代数的结构，研究了该类von Neumann代数中的对偶性质和Bessel向量集的性质以及群的射影酉表示和右正则表示von Neumann代数中循环投影的等价和子等价的对应关系，并且在某些有限因子的酉基存在性理论方面取得了若干结果。