非自伴算子代数稳定秩理论及其应用

在代数K理论中，为了研究一般线性群的稳定性质，1964年Bass对环引入了Bass稳定秩的概念，它在环论许多问题的研究中起着重要的作用。而后，人们又相继引入了Banach代数的各种稳定秩的概念。特别是1983年Rieffel引入拓扑稳定秩的概念之后，出现了大量的研究成果。拓扑稳定秩理论对于研究C*代数结构、分类等问题发挥了重要的作用。而长久以来，人们对于C*代数稳定秩理论关注较多，对于非自伴代数的关注较少。我们在研究过程中发现，稳定秩理论与非自伴算子代数中的许多重要问题有着很密切的联系，而且在系统控制理论中的强稳定化问题中有着重要的应用。因此研究非自伴代数的稳定秩理论是一项非常有意义的工作。该课题主要有四个方面的内容：1 非自伴代数各种稳定秩的计算 2套代数可逆元群连通性问题 3利用稳定秩理论研究套代数极大理想的刻划 4 应用稳定秩理论，研究系统控制理论中的强稳定化问题。

本项目旨在利用非自伴算子代数稳定秩理论研究非自伴算子代数相关重要问题，并探求其在控制理论和算子理论中的应用。我们按照项目计划书开展研究，在若干关键问题上均取得了突破和进展，基本完成了项目的研究任务。代表性的成果有：1、对于一类序型为ω、每个原子均是有限维的套代数，我们解决了（可逆元群）连通性问题；2、证明了Banach代数A的闭理想J的左（右）拓扑稳定秩不大于A的左（右）拓扑稳定秩；3、对于右拓扑稳定秩为2的套代数，得到了它的极大理想的完全刻画；4、在套代数框架下，对于时变线性系统我们得到了判定同时稳定化传递性的两个准则。此外，在以上成果的基础上，项目组成员还综合应用研究中发展的方法和技巧针对算子理论领域的几个公开问题进行了研究，得到了很多有趣的结果。