Lie-Yamaguti代数的结构

Lie triple system acts on symmetric space just as Lie algebra acts on Lie group, so Lie triple system is a class of important algebra system. As the generation of Lie triple system, Lie-Yamaguti algebra is a binary-ternary algebra system defined by Kinyon-Weinstein in 2001(also named by Yamaguti as General Lie triple system in 1958) which is intimately related to reductive homogeneous spaces. But no much information on their algebraic structure is available yet. We will study the T*-extension and symplectic form of Lie-Yamaguti algebra. The research topics of this projet are of significance on the research of Lie triple system, Lie algebra and Yang-Baxter equation.

李三系在对称空间中的作用相当于李代数在李群中的作用，故李三系是一类非常重要的代数。作为李三系的推广，Lie-Yamaguti代数是Kinyon-Weinstein在2001年定义的（Yamaguti也曾在1958年将其命名为广义李三系）与约化齐性空间密切相关的binary-ternary代数。目前关于Lie-Yamaguti代数的代数结构的研究尚少，本课题主要研究Lie-Yamaguti代数的T*-扩张和辛形式。本课题的研究内容对李三系、李代数和Yang-Baxter方程等诸多领域的研究与发展有重要的意义。

本项目主要研究Lie-Yamaguti代数（广义李三系）的代数结构方面的一些性质。我们的主要研究内容包括：Lie-Yamaguti代数的上同调、形变理论，李三系的商系。我们系统地研究了Lie-Yamaguti代数的形变理论，利用上同调刻画了Lie-Yamaguti代数的无穷小形变，并研究了Lie-Yamaguti代数的障碍、刚性及可积性。我们证明了李三系的一些性质可以提升到其商系，以及一个李三系的商系在某种意义上等价于一个李代数的商代数的结论，这使得我们得以构造非退化李三系的极大商系。本项目共完成两篇论文，其中一篇即将发表在SCI收录期刊comm. in alg.，另一篇也已投到SCI收录期刊，并上传到arXiv:1401.1075.