遍历理论中的复杂性与族

Mixing properties and entropy are the two important concepts in study of complexity in measure preserving dynamic system (MDS). Various mixing properties (entropy) correspond to various complexities. We hope to study and describe complexity of dynamic system by families. First, we want to establish the general theory between families and mixing properties by which one can study mixing properties systemic and convenient. Especial for Rohlin question (strong mixing implies multi-folds strong mixing). Second, we try to study the system with zero entropy by the concept of entropy dimension. Unlike the case of topological dynamic system, we will define the entropy dimension by sequence entropy. Various dimensions correspond to various sequences which have different "density". Finally, the relationship between mixing and entropy will be studied. The Rohlin question will be considered for some special cases related to entropy dimension.

保测动力系统复杂性的研究有两个重要的概念：混合性和熵。不同的混合性对应了不同的复杂性，不同的熵也对应了不同复杂性的系统。本项目希望通过族来系统的研究和刻画动力系统的复杂性，主要有两个方面，一个是建立族与混合性对应的普适性理论，以便利用族的性质去更系统、更方便地研究系统的混合性，特别是关于 Rohlin 问题（强混合推出多重强混合）的研究。第二方面是通过熵维数细化零熵系统的复杂性程度，由于空间结构的不同，不能像在拓扑动力系统里那样定义熵维数，本项目试图通过序列熵来定义熵维数，不同的维数对应不同的序列，这些序列具有不同的“密度”。同时，我们还将研究两者之间的联系，在对系统作一些熵维数的限制下考虑Rohlin问题。

本项目主要是从混合性和熵两个角度去研究动力系统的复杂性。从混合性角度出发，主要是围绕Rohlin问题，即强混合能否推出多重强混合这一问题进行研究，试图利用族的性质能够在这一问题上有所突破，在把弱混合情形的方法应用到强混合情形时遇到困难，尝试了一些方法取得了一定进展，但仍未能在这一问题取得本质突破。从熵的角度出发研究系统复杂性，尤其是熵维数刻画零熵系统，首先我们研究了非自治系统与其因子系统的熵之间的关系，得到了类似与经典动力系统关于熵的恒等式。其次还把熵维数的概念引入到更一般的群作用系统中去，研究了amenable群作用下的拓扑熵维数理论，研究了极小子转移系统的平均拓扑熵维数。最后，在非自治系统中引入了随机的概念，得到了统计意义下关于熵的一些恒等式的刻画。