上三角Hamilton算子的谱问题及其在弹性力学中的应用

Hamilton算子一般是无界非自伴算子矩阵，在数学物理、最优控制理论和弹性力学等领域起重要作用。近些年来，围绕该算子的理论研究日益拓广和深化，但应用方面有待加强。本项目选择上三角Hamilton算子为切入点，研究本征值问题、谱问题及其在弹性力学中的应用。具体地，研究上三角Hamilton算子的谱结构，研究诸如本质谱、Weyl谱等各类型谱的分布规律，并拓展到形式Hamilton算子；考察上三角Hamilton算子的本征值问题，尤其是研究辛本征函数展开定理，发展求解上三角Hamilton系统的辛本征函数展开方法；鉴于辛算法在有限维系统中的有效性，拟结合形式Hamilton算子的谱结构和辛本征函数展开定理，探讨无穷维情形的辛数值方法；最后，将这些结果应用在平面弹性、板弯曲、Stokes流、准晶平面弹性等问题中，为应用Hamilton系统求解弹性力学问题提供数学依据和辛（新）数学方法。

本项目圆满地完成了预期研究计划。项目组研究了上三角Hamilton算子的谱性质、可逆性、补问题和辛特征向量展开定理，并将有关结果应用于弹性力学和数学物理问题中，建立起基于上三角Hamilton算子的成套辛数学理论，发展了无穷维情形的辛数学方法。.. 主要研究成果：(1)研究了上三角Hamilton算子的谱结构，即谱的对称性，为研究特征向量组的完备形式奠定了坚实基础；(2)完全刻画了上三角算子矩阵的Moore-Penrose谱和本质谱，使解决数学物理中的实际问题成为可能；(3)针对Langer和Tretter提出的二次数值域，得到上三角Hamilton算子的谱包含性质，更加精确地反映了谱分布规律；(4)基于空间分解方法彻底解决了上三角Hamilton算子的可逆性和可逆补，值得一提的是国外学者Kurina等的结果仅能提供对角(次对角)占优和上(下)行占优时非负Hamilton情形的充分条件；(5)研究了上三角Hamilton算子特征值问题的成套理论，为钟万勰院士开创的弹性力学求解新体系提供数学依据；(6)深入研究次对角算子矩阵的特征向量展开定理，提出求解上三角微分系统的双辛特征展开方法；(7)将有关结果应用于平面弹性问题、板弯曲问题、弹性地基板的弯曲问题、矩形薄板的自由振动问题、矩形薄板均匀变压屈曲挠度方程，以及某些数学物理问题中，采用分离变量法得到相应问题的解析级数解，并对部分级数解截断进行了数值模拟。.. 部分结果被瑞士的Complex Analysis and Operator Theory、英国的Linear and Multilinear Algebra、Chinese Ann Math B、数学学报、Acta Math Appl Sin-E、Algebra Colloqum、应用数学学报、数学物理学报、Appl Math Mech-Engl、Chin Phys B、物理学报等国内外数学、力学和物理类核心期刊录用和发表，其中有国际数学SCI论文3篇，国内学术论文30篇(SCI论文11篇、EI论文6篇)。在国外学术会议上发表学术报告2篇、墙报展示1篇。此外，项目主持人获内蒙古自治区自然科学二等奖，入选自治区“新世纪321人才工程”二层次和高等学校青年科技英才支持计划，获自治区第八届青年科技奖。