几类扩散方程变号解的若干定性问题

In recent years, the sign-changing solution problems which mainly come from chemistry, mechanics, biology, fluid mechanics, atomic physics, etc, are the topic under the spotlight but lack of theoretical study in the field of partial differential equations. In this project, we study second-order quasilinear parabolic equations, viscous fourth-order diffusion equations and nonlocal diffusion equations, mainly concern the qualitative problems of sign-changing solutions which are lack of complete discussion. Mainly including (1) For second-order quasilinear parabolic equations, such as p-Laplace equation and porous medium equation, we consider the Liouville type theorem and type I, type II blow-up of sign-changing solutions; (2) For viscous fourth-order diffusion equations, such as viscous Cahn-Hilliard equation and viscous thin film equation, we study well-posedness of sign-changing solutions and investigate the effect of the viscous term on the asymptotic limit and long time behavior of sign-changing solutions; (3) For nonlocal diffusion equations, we establish the asymptotic behavior and the related theory of traveling wave phenomena of sign-changing solutions. According to the characteristics of sign-changing solutions, there will be essential difficulties in our research, hence we need to find new approaches, frameworks etc. To a certain extent, our results and methods will provide important reference for explaining some physical phenomena and enrich the theory of partial differential equations.

源于化学、机械、生物、流体力学、原子能物理等领域的变号解问题，是近年来偏微分方程领域备受关注却又缺少理论研究的课题。本项目拟研究二阶拟线性抛物方程，粘性四阶扩散方程及非局部扩散方程的变号解的一些尚无系统讨论的定性问题。主要包括(1)对以p-Laplace方程、多孔介质方程为代表的二阶拟线性抛物方程，考虑变号解的Liouville型定理和I型、II型爆破等奇异性质；(2)对以粘性Cahn-Hilliard型方程、粘性薄膜方程为代表的粘性四阶扩散方程，研究变号解问题的适定性的同时还关注粘性对变号解的渐近极限及长时间行为的影响；(3)对非局部扩散方程，建立变号解的渐近行为和行波现象的相关理论。由于变号解的特殊性会为研究带来本质性困难，需要我们寻找新的研究思路。本项目的研究不仅能对解释某些物理现象提供重要参考，而且研究方法与结果也将在一定程度上丰富和完善偏微分方程的理论。

本项目的模型来源于化学、机械、生物、流体力学、原子能物理等领域的实际问题，具有丰富的物理背景。主要研究内容包括：① 二阶抛物方程组解的渐近性质，我们研究了一类带有修正Lotka-Volterra反应项的捕食与被捕食模型的保护区问题，与普通Lotka-Volterra模型不同，这里修正的反应项意味着捕食者在处理食物时不需要花费时间，导致我们的模型具有不同的动力学行为。② 四阶扩散方程的奇异性质和渐近行为，首先我们用熵方法研究了具有变指标四阶非线性抛物方程弱解的存在性；其次我们用位势井方法考虑了一类具有守恒性质的四阶偏微分方程，给出了弱解的爆破和整体存在的条件，进一步也给出了解的渐近行为和生命跨度；最后我们用凹方法研究了具有变指标源的四阶抛物方程，给出了弱解的爆破时间估计和爆破解的渐近行为。③ 伪抛物方程的奇异性质和渐近行为，我们考虑了一类具有非标准增长条件的半线性伪抛物方程，给出了弱解的爆破和整体存在的完全分类，得到爆破解的最优的速率估计和生命跨度。我们的研究成果不仅能对解释某些物理现象提供重要参考，而且研究方法与结果也将在一定程度上丰富和完善偏微分方程的理论。