几类高阶抛物方程的若干问题研究

In this project, we mainly study the higher-order parabolic equation(s), which are related to the models of thin film theory, bi-stable phase transition, flame propagation and have important applications in fluid dynamics, semiconductor, biology, etc. The singularity analysis of solution to parabolic equation has been a hot problem of nonlinear partial differential equation. It is difficult to research this problem to higher-order parabolic equation(s). In this project, we study the singular properties of solution to higher-order parabolic equation(s), including (i) the critical Fujita exponent and second critical exponent. In particular, we will discuss the effect of nonlocal term to the critical exponent of higher-order nonlocal nonlinear parabolic equations. (ii) the lower bound estimation for life span, the estimation for blow-up time and the large time behavior of global solutions. In technique, we have to be faced with the difficulties which due to the not hold any more of comparison principle and the existence of higher-order diffusion term, nonlocal term and coupled term. We plan overcome the difficulties via constructing a new nonlocal diffusion equation(s) and choosing appropriate test function carefully. And we deal with the higher-order diffusion term by using interpolation inequality, embedding theorem etc. At the same time, we pay attention to combine various methods and improve the existing methods.

本项目主要研究与薄膜理论、相位平移、火苗蔓延等模型相关的几类高阶抛物型方程，其在流体力学、半导体、生物学等方面具有重要的应用。解的奇性研究一直都是非线性偏微分方程关注的热点问题，而高阶抛物方程的相关研究是其中的难点。本项目拟研究几类高阶抛物方程解的奇异性质等问题，包括：(1) 方程的临界指标，包括Fujita临界指标和第二临界指标。特别探讨非局部项对高阶非局部非线性抛物方程临界指标的影响； (2) 非整体解life span 的下界估计、非整体解的爆破时间估计以及整体解的长时间行为。在研究方法上需克服比较原理不成立以及高阶扩散项、非局部项以及耦合项所带来的本质困难。拟通过构造新的非局部扩散方程（组）和精心选取恰当的试验函数这两个关键环节展开研究，利用各种插值不等式、嵌入定理等手段精细地处理高阶项，同时也会注意多种方法的结合并对已有方法做适当的改进和调整。

本项目主要研究了高阶抛物型方程、快扩散抛物方程、非散度型抛物方程以及趋化模型的奇性理论。解的奇性研究一直都是非线性偏微分方程关注的热点问题，具有重要的实际意义与理论价值。研究内容主要包括以下几个方面：(1) 具加权源的高阶抛物型方程的临界指标。通过研究发现，非局部源的存在会使得Fujita临界指标以及第二临界指标发生很大的变化。特别地，在某些情形下，由于非局部源的存在，使得解对任意初值都在有限时刻发生爆破。(2) 具加权源的快扩散抛物型方程的临界指标。Galaktionov 等人首次给出了这一模型，但并没有给出具体结论。近年来，Zhou 研究了这一方程的第二临界指标。我们给出其Fujita临界指标，从而完善这一方程临界指标的结论。(3) 许多著名数学家对源于自然界中广泛存在的扩散现象，如无力磁场的阻性扩散、生物种群的生存与竞争、微分几何领域的曲线收缩流、传染病的蔓延等非散度抛物模型进行探讨。我们研究了具有梯度项的非散度型双重退化扩散方程的奇性理论，得到完善的结果。(4) 近年来，源于生物数学的趋化模型受到很大关注，我们研究了高维完全非线性的两种趋化抛物系统的有界性，得到解的存在唯一性这一结论。我们的上述研究成果将丰富偏微分方程的理论，并为解释某些物理现象提供重要的理论依据。