城市地理系统的空间关联分析

The well-known mathematical models, laws, and analytical methods such as Clark's model, Smeed's model, Zipf's law, spatial autocorrelation and spatial interaction analysis are directly or indirectly associated with spatial correlation functions. This suggests that spatial correlation equations can be employed to integrate various mathematical theories and methods of urban geography into a new theoretical framework, and then develop new theories and methods for urban studies. Based on the ideas from correlation functions, Fourier transform, characteristic scale, and scaling, this project is to reveal the inherent logic relations between the existing mathematical models and analytical processes of cities, and explore new models and methodologies of urban spatial analysis. The main expected results are as follows: (1) Intra-sample auto-correlation modeling methods of cities; (2) Inter-sample cross-correlation modeling methods of cities; (3) Processes of spectral analysis based on auto- and cross-correlation models of cities; (4) Multifractal modeling and analyses of cities. The significance of these studies rest with that new growing point and key elements of modeling cities and city development can be found from spatial correlation analyses because correlation functions are important hubs within the network of multifarious urban models.

城市地理学中的著名数学模型（如Clark模型、Smeed模型、Zipf分布模型、引力模型）和空间分析方法（如空间自相关、空间相互作用、多分形模型）都与空间关联分析之间存在直接或者间接的逻辑关系。这暗示，可以借助空间关联函数将貌似无关的城市地理学中的各种模型和方法集成到一个有序的逻辑框架，进而演绎出新的城市系统模型和理论。本课题将基于关联函数的概念和Fourier变换的思想，利用传统数学方法中的特征尺度分析和新数学方法中的标度分析，寻找城市地理学理论模型和数学方法的逻辑联系，发展城市地理系统的空间关联建模理论和关联分析方法。预期的主要研究成果包括4个方面：（1）空间样本内的自关联分析；（2）空间样本间的互关联分析；（3）基于自关联和互关联的谱分析；（4）多分维谱分析。本课题的学术意义在于，揭示出现有城市理论模型的数理关系，寻找城市空间建模的关键元素，进而发展城市地理系统分析的新理论和新方法。

地理学现有的数学模型，大部分与关联函数有直接或者间接的关系，而空间自相关和空间相互作用等地理学理论与方法可望借助关联函数进一步发展。另一方面，多分维谱的测度基础之一是广义关联函数。根据上述学术背景，申请立项。目标在于，以中国为研究区，以城市为实证对象，发展空间关联分析的理论和方法框架。着重研究如下问题：城市地理系统的空间自关联建模与分析，城市地理系统的空间互关联建模与分析，基于关联函数建模的城市地理系统的谱分析，以及基于关联函数的城市地理系统的多分形建模。其中关键性难题如下：其一，空间关联的特征尺度与标度分析的分界与联系；其二，时滞参数或者位移参数的有效定义与引入方法。研究发现：（1）借助二次型函数，推广了Getis-Ord指数，并证明Getis-Ord指数等价于地理学的潜能指数；在潜能指数的基础上，提出了互能分析模型和方法。（2）如果将规模测度向量替换为规模测度矩阵，则不仅可以发展空间互关联分析，而且可以将自关联分析与互关联分析集成到同一个框架。（3）借助空间关联函数与波谱函数互为Fourier余弦变换的关系，发展了地理空间信号和分布特征分析的方法。（4）正规化的Renyi熵等价于正规化的分维，据此将多分维谱推广到更为一般意义的多分维指数集合，从而发展更为一般的城市系统多分维谱分析方法。研究证明，标度指数包括分维参数等于测度对数的标准差与基于相应尺度对数的标准差之比。这个关系将特征尺度参数与标度指数从数学上联系起来。利用标度思想，借助相对阶梯函数，将空间位移引入二维空间自相关函数，弥补时间滞后参数的缺失，发展了空间自相关函数分析方法，进而可以发展空间自相关的谱分析方法。常规的定量分析和数学建模是基于特征尺度的，地理系统在很多方面没有特征尺度。本研究的理论意义在于，基于无特征尺度思想，发展了地理空间分析方法，为地理学的空间标度分析理论建设和方法发展奠定了基础。