距量积分与Carlitz型q-Hardy-Hille公式的研究

With the rapid development of the q-orthogonal polynomial theory in quantum mathematics, problems from important types of generating functions for q-Laguerre polynomials become a focus of mathematical research. However, it become more and more difficult to study generating functions for q-Laguerre polynomials by classical q-analogues methods respectively, a method of moment integral is an effective way to solve this problem. This project aims at Carlitz-type q-Hardy-Hille formulas, whose cases of single, double, triple and multiple are studied by utilizing moment integral systematically, the structural features of these generating functions are revealed by using techniques of exponential operator decomposition and q-exponential operator etc, the properties of their corresponding q-difference equations and moment integral identities are discussed, further more, the characters of solutions for the equations and q-series transformations are obtained. The method and results in this project reveal the characters of a class of generating functions for q-orthogonal polynomials，its also provide an approach to investigate other q-orthogonal polynomials，and consequently enrich the theory of q-orthogonal polynomials.

近些年随着量子数学中q-正交多项式理论的飞速发展，q-Laguerre多项式重要类型的生成函数问题成为当前数学研究的热点课题。但是，通过q-模拟的经典方法研究相应的q-Laguerre多项式的生成函数愈来愈困难，距量积分方法是解决该问题的有效手段。本项目以Carlitz型q-Hardy-Hille公式为研究对象，利用距量积分方法系统地研究该类型公式的单重、二重、三重及多重情况，并结合指数算子分解、q-指数算子等方法刻画相应成函数的结构特性，并且研究它们所对应的q-差分方程、距量积分恒等式的性质，进而获得方程解的特征、q-级数变换公式。本项目的研究方法和成果揭示了一类重要q-正交多项式生成函数的特性，提供了研究其它q-正交多项式生成函数的途径，丰富了q-正交多项式生成函数的理论。

本项目采用距量积分方法研究了q-正交多项式的双线性生成函数问题，探讨了Rogers–Szegö、q-Laguerre、Al-Salam–Carlitz、Hahn、Andrews–Askey等多项式的双线性生成函数的结构特征。此外结合距量积分方法，进一步提出了q-积分、q-指数分解、Askey–Roy积分、q-差分方程等方法研究q-正交多项式生成函数问题。.通过这些方法研究发现：1. 多变量积分型q-Hardy–Hille公式具有正交性结构对称特征。2. 利用Hahn多项式Srivastava–Agarwal型生成函数的q-指数分解方法纠正Carlitz于1972年发表在Collect. Math.上的结果。3. 拓广Andrews–Askey积分与Andrews–Askey多项式双线性生成函数存在内在关联。4. 利用距量积分方法解决了J. Funct. Anal.上关于q-Kibble–Slepian公式型生成函数公开问题。5. Askey–Roy积分方法可用来拓广酉群上U(n+1)型生成函数。6. 利用q-差分方程方法推广q-beta积分的Ramanujan公式，建立与Al-Salam–Carlitz多项式的双线性生成函数之间联系。.上述结果证实了距量积分方法是研究q-正交多项式生成函数一种重要手段，通过距量积分方法进而提出的q-积分、q-指数分解、Askey–Roy积分、q-差分方程等方法有效地揭示了q-正交多项式生成函数问题，并为探索q-正交多项式属性提供了一个新的研究渠道。