关于积分几何中的运动公式

Study on the theory of kinematic formula is one of the importment subjects in integral geometry. First we study the angle between two intersection manifolds in Riemannian homogeneous space by S. S. Chern's theorey about integral geometry; by using the method of moving frames we consider the invariant density of intersection linear subspaces, and establish relations between the invariant density and an importment differential formula in [SC], and obtain a kinematic formula for the angle powers. Next, similary with the study of the classical John ellipsoid, the Petty ellipsoid, the Legendre ellipsoid and the LYZ ellipsoid, applying the method of moving frames, valuation theory, the knowledge of algebra and integral geometry, we introduce the notion of total mean curvature ellipsoid associated with submanifold, study the geometrical properties and give a description of the kinematic formula for total mean curvature matrix. These studies have meaning to enriche and develop integral geometry.

运动公式理论是积分几何中的重要课题之一。本项目首先通过陈省身齐性空间积分几何理论和活动标架法研究一般齐性空间中关于两交子流形的夹角，通过活动标架法研究两相交线性子空间的不变密度，并将该不变密度和S.S.Chern在[SC]得到的微分公式建立联系，通过积分几何办法获得关于夹角的任意方幂的运动公式。再次，拟对比研究凸几何中经典的John椭球、Petty椭球、Legendre椭球及LYZ椭球，综合运用活动标架法、Valuation理论、代数学知识与积分几何知识，定义与流形对应的平均曲率椭球，并研究新椭球的几何性质，拟给出关于平均曲率矩阵的运动公式的刻画。这些研究对丰富和发展积分几何有一定的意义。

积分几何起源于几何概率，建立在随机几何、凸体论、李群的基础上，研究流形与凸体的整体性质，是整体微分几何的重要组成部分。其深入应用到物理、采矿学（探针收索）、医学、信息论、机械设计等领域。积分几何是中国传统的数学分支之一，陈省身、苏步青、严志达、吴大任与任德麟等为其发展作出了很多贡献。陈省身基本运动公式现仍为积分几何中最优美的积分公式。. 运动公式与几何不等式等是积分几何研究的重要内容。本课题首先研究不变运动公式，我们引入了子流形的平均曲率矩阵的概念，定义与流形对应的平均曲率椭球，通过研究新椭球的几何性质，给出了关于平均曲率矩阵的一个运动公式；其次，在上述研究平均曲率向量的过程中，我们研究了平均曲率，获得了凸体的两外平行体（在两不同空间中）的平均曲率积分的表示，这些结论是Santaló关于平坦凸体的平均曲率积分的推广，作为推论，我们建立了两外平行体的平均曲率积分和Minkowski均质积分的均值。目前，我们还研究两交子流形的夹角，已获得一些结论。