维纳引理及其相关问题的研究

If a periodic function f(x) has an absolutely convergent Fourier series and never vanishes, then 1/f(x) has an absolutely convergent Fourier series. It is called the classical Wiener’s lemma. Wiener's lemma states that the localization of infinite matrices and integral operators are preserved under inversion. .The classical Wiener’s lemma and its various generalizations are important，and they have numerous applications in numerical analysis, wavelet theory, frame theory, sampling theory and in engineering science including signal processing and communication engineering. .The primary objective of this project is to study the Wiener’s lemma for infinite matrices and integral operators. Furthermore, we want to study more form of Wiener’s lemma；Establishing the Wiener's lemma for Bessel potential operators on homogeneous spaces; Establishing Wiener's lemma for some kind of integral operators in Fourier Analysis; Discussing the closedness and stability of infinite matrices when their index set is the compact manifolds or has a group structure. And further to explore their application in sampling theory, and the sparse optimization etc..This project will enrich the research contents of Wiener's lemma, and promote the development of its theory and application.

如果函数f(x)有绝对收敛的富里埃级数，且在实数域内处处不为零，那么1/f(x)也有绝对收敛的富里埃级数。这就是经典的维纳引理。维纳引理阐明了无穷矩阵和积分算子的局部化特性在反演下是保留的。经典的维纳引理及其各种推广形式是非常重要的，它们在数值分析、稀疏优化、小波理论、框架理论、采样理论以及工程技术等方面有着大量的应用。.本项目主要目标是研究无穷矩阵和积分算子的维纳引理；并进一步地探讨维纳引理更多的形式；建立齐次空间上Bessel位势算子的维纳引理；建立富里埃分析中几种常见的积分算子的谱不变性和稳定性；研究指标集为紧流形或者具有群结构时，无穷矩阵类的逆闭性和稳定性，并进一步探讨它们在采样理论、稀疏优化等发面的应用。.本项目将丰富维纳引理的研究内容，推动其理论和应用的发展。

如果函数f(x)有绝对收敛的富里埃级数，且在实数域内处处不为零，那么1/f(x)也有绝对收敛的富里埃级数。这就是经典的维纳引理。维纳引理阐明了无穷矩阵和积分算子的局部化特性在反演下是保留的。经典的维纳引理及其各种推广形式是非常重要的，它们在数值分析、稀疏优化、小波理论、框架理论、采样理论以及工程技术等方面有着大量的应用。本项目的主要研究内容分为两个方面，一是维纳引理，二是算子的谱不变性和稳定性。.►维纳引理: 范数控制反演是指在巴拿赫代数中，可逆元的范数只能由其光滑性和谱数据来控制的现象。范数控制是一个定量性质，范数控制反演是维纳引理的一个强化形式。近些年，图上的调和分析问题是国际上热点问题。图上的无穷矩阵的稳定性和反演问题是本项目的最新进展，项目组引进了一类Beurling型积分算子代数，讨论了图上的无穷矩阵的(加权)稳定性上界的多项式控制以及无穷矩阵的逆的范数的多项式控制上界，给出例子说明该上界几乎是最优的。此外，项目组还讨论了维纳引理在采样理论、稀疏优化等方面的应用。完成了相关科研论文5篇。.►算子的谱不变性和稳定性: 在齐次型紧空间和无向图上，项目组引进了一类Beurling型积分算子代数，并证明了该代数为巴拿赫代数。利用Haar小波系统中的多尺度分析的思想，构造积分算子的局部逼近，从而将积分算子离散化，得到其相应的离散化无穷矩阵；根据积分核的非对角衰减性，建立离散化矩阵的有界性和非对角衰减性；最后，利用无穷矩阵的交换子估计法，建立了Beurling代数中积分算子的稳定性。项目组将经典的纽曼展开法和逼近论中光滑逼近的方法结合起来，首次建立了Bochner-Riesz平均型积分算子的谱不变性；进一步，将该谱不变性拓展到了加权Triebel-Lizorkin空间、Besov空间以及Hertz空间中。完成了相关科研论文4篇。