四次多项式系统S-引理的相关问题及应用

A quartic polynomial being copositive with another system of quartic polynomials has many equivalent characterizations, S-Lemma for quartic polynomials (SLQP) is the problem of discussing such characterizations. This problem has broad mathematical background and various practical applications, whose research would make fundamental contributions both theoretically and practically. This project will investigate both its theory and applications, and try to establish the theoretical foundation of the SLQP. Specifically, it will investigate its formulations (including, in the equivalent problems, nonnegative constant coefficients, nonnegative polynomial coefficients, SOS polynomial coefficients etc), and some necessary and sufficient conditions, the algebraic complexity (including the boundedness, some upper and lower bounds for the degrees of nonnegative polynomial coefficients and SOS polynomial coefficients etc), discover some classes of structured quartic polynomials for the SLQP, find some classes of structured quartic polynomials so that the corresponding SLQP being computable, and apply these results to problems in both quartic optimization and real word. This research may enrich largely the optimization theory and has significant impact on the further study of nonlinear algebra.

一个四次多项式函数对另一个由四次多项式函数组成的系统共正的问题具有很多的等价刻画，四次多项式系统S-引理（SLQP）就是研究这些等价刻画的数学问题。这个问题具有广泛的数学理论背景和众多的实际应用，其研究具有重要的理论和应用价值。本项目重点探讨SLQP的基础理论及其实际应用，力求建立SLQP的理论基础。具体地，主要讨论SLQP的表达形式（包括等价问题中具有非负常数系数，非负多项式系数、SOS多项式系数等）、成立的充分和必要条件，分析SLQP的代数复杂性（包括非负多项式系数和SOS多项式系数的次数的有界性以及上下界的计算，算法的复杂性等），寻求能够使不同表达形式下S-引理成立的特殊类四次多项式，研究可验证SLQP的四次多项式类，并将建立的理论应用于四次多项式优化问题以及与其相关的某些实际问题。本项目的顺利实施可以很好地丰富最优化理论，为非线性代数等的发展提供理论支持。

本项目以四次多项式系统的择一定理为研究基本出发点，系统地研究了特殊多项式系统的择一定理及其SOS表达形式。在研究中发现，要进一步建立四次多项式系统的择一定理，需要完善很多的相关理论。特别地，表达多项式的张量的基本理论和性质的研究在这些理论中显得特别关键。因此，本项目还研究了张量的最基本理论，包括非负张量的Perron-Frobenius定理，张量特征值的重数与反问题，张量核范数，以及特殊Laplace张量的性质。为了后续研究的开展，本项目也研究了相关的张量优化问题及应用。总的说来，本项目是张量优化研究的一个良好开端。