Ricci流及其在微分几何学中的应用

拟开展下述问题的研究：1.有限时间内Ricci流的奇点分析和拼挤估计,将对一些特殊的四维流形，比如具有正定自对偶部分曲率算子的流形进行研究；2.正规化Ricci流的长期存在性与收敛性；3.Kahler Ricci流的收敛性,将对高维Fano流形上Kahler-Ricci流的收敛性进行研究；4.具有大对称性流形上的Ricci流；5.收缩Ricci soliton的几何性质等。

本项目旨在研究Ricci流在奇异点的性质和长期收敛性质，借此讨论Ricci流在微分几何中的应用。Ricci流由R. Hamilton在1982年的一篇文章创立，30年来已经发展成几何分析一个重要工具。其想法是研究流形上度量张量的一个退化热方程，构造（可能局部）典则度量，由此反映流形的拓扑结构。G. Perelman在Hamilton工作的基础上用Ricci流的方法解决了Poincare猜想和Thurston几何化猜想，成为本世纪数学发展的里程碑。.本项目在研期间，共发表SCI论文5篇，内容主要围绕申请书中所提的问题：Ricci流和Kahler-Ricci流的收敛性，Ricci孤立子模空间问题。其中，关于Ricci流长期解，申请人和合作者张宇光教授证明了四维流形上的Hitchin-Thorpe类型不等式是Ricci流长期存在的必要条件，暗示四维Ricci流长期解的拓扑障碍；关于Fano流形上的Kahler-Ricci流，申请人证明了用来判别该Ricci流收敛的一个用加权Laplacian算子的谱分布给出的充要条件，简化Phong-Song-Sturm-Weinkove的判别方法，该条件在研究Kahler-Ricci流的收敛将起到作用；申请人和合作者阮卫东教授和张宇光教授证明，如果维数大于等于3，Fano流形Kahler-Ricci流半维数积分曲率有界等价于曲率本身有界，给出了解Kahler-Ricci流的一个侧面；关于Ricci孤立子的模空间问题，申请人与田刚教授证明在Gromov-Hausdorff拓扑下，Ricci孤立子的模空间结构与Einstein流形的模空间结构一致，将Cheeger-Colding-Tian的Ricci曲率有下界的收敛理论推广到常Bakry-Emery-Ricci曲率的情况。