关于树指标随机过程极限理论的进一步研究

In this project, we are going to study the strong law of large numbers, the entropy ergodic theorem and the central limit theorem for Markov chains indexed by trees taking values in general state space; study the strong law of large numbers and the entropy ergodic theorem for nonhomogeneous bifurcating Markov chains indexed by a binary tree taking values in general state space; study the strong law of large numbers and the entropy ergodic for stationary ergodic processes indexed by trees (for example, G stationary ergodic processes indexed by trees). We are also going to study the entropy ergodic theorem for relative entropy densities and consistency and asymptotic normality of the maximum-likelihood estimator of the parameter for hidden Markov tree models. In this project， we mainly use a new approach of studying the strong limit theorems in probability theory which is different from the traditional one. We have successfully obtained some strong laws of large numbers and entropy ergodic theorems for Markov chians indexed by trees by using this approach.

本项目研究在一般状态空间取值的树指标马氏链的强大数定律、熵遍历定理与中心极限定理；二叉树上在一般状态空间取值的非齐次分支马氏链的强大数定律与熵遍历定理；树指标平稳遍历过程（例如树指标G平稳遍历过程）强大数定律与熵遍历定理；隐马尔可夫树模型熵遍历定理、未知参数极大似然估计的强（弱）相合性与渐近正态性。在本项目的研究中，申请者主要采用研究概率论强极限定理的一种独特方法，这种方法是与传统方法不同的。本项目申请者与合作者用这种方法成功的得到了树指标马氏链的若干强大数定律。

本项目进行了以下研究：1）首先研究了离散随机环境下树指标马氏链的定义、等价性及存在性，其次研究了离散马氏环境下的树指标马氏链的强大数定律与熵遍历定理及离散随机环境下树指标马氏链强偏差定理，最近我们研究了一般环境下的树指标马氏链的定义定义、等价性、存在性及强极限定理。2）我们首先给出了连续状态马氏链遍历性初等证明，研究了连续状态非齐次马氏链的一类强大数定律，连续状态非齐次马氏链的延迟平均的一类强大数定律，任意随机变量序列关于连续状态马氏链的强偏差定理。3）我们研究了非齐次马氏链和树指标非齐次（齐次）马氏链延迟平均的若干强大数定律与熵遍历定理。4）我们研究了信息论中一类信源的相对熵率和非齐次马氏链Renyi熵率。5）我们研究了树指标非齐次马氏链若干强大数定律，6）我们研究了任意随机变量序列关于可列非齐次马氏链的强偏差定理。7）我们研究了二叉树上随机场关于二叉树指标非齐次分支马氏链的一类强偏差定理。8）我们研究了NQD序列的强收敛定理。9）我们还研究了可列非齐次隐马氏链的强大数定律。.. 我们关于树指标马氏链中心极限定理的研究尚没有理想的结果。我们研究连续状态马氏链强极限定理是为了给研究在一般状态空间取值的数指标马氏链强极限定理做准备，我们关于在一般状态空间取值的数指标马氏链的强极限定理尚没有结果。5年前我们给出了隐马尔可夫树模型的严格定义、等价性质、存在性及强大数定律，但这篇文章到现在都没有发表，影响我们的后续研究。到目前为止，本项目共发表了31篇论文，其中SCI收录21篇。