长记忆模型的统计推断问题以及相关的应用

The data described by the the long-memory models, in particular, the fractional Brownian motion(fBm) and fractional Gaussian noises(fGn) play a very important role in the modern industrial life. In this article, we try to analyse the long-memory models from a statistical point of view, especially the basic parametric estimation. We focus on the partially observed AR(p) process driven by fGn and mixed fractional Brownian motion and their applications on GPS. In most cases, we will find the Maximum Likelihood Estimator by using the Girsanov theorem and determine the convergence, consistency and convergence rate of the estimator with the Laplace transform and the filtering theorem.

现代工业生活中长记忆模型尤其是分数布朗运动和分数高斯噪声所描述的数据有着非常重要的作用. 此文中我们从统计学尤其是最基本的参数估计的角度对长记忆模型进行分析，着重考虑由分数高斯噪声生成的部分观测AR(p)过程以及混合分数布朗运动等几种模型并给出其在GPS中的应用。大多数情况下,我们会通过Girsanov定理来给出参数的极大似然估计，并且运用拉普拉斯变换和滤波原理来判断估计的收敛性，相合性以及收敛速度。

为了对由混合分数布朗运动驱动的保险盈余过程的破产概率估计做准备，此项目主要研究了有关普负勒维过程驱动的保险盈余过程的破产概率估计以及破产后的状态，混合分数布朗运动驱动的OU过程的漂移参数的最小二乘估计的问题，同时我们也研究了一般平稳高斯噪声驱动的AR模型的漂移参数的变点检测问题。在构造出估计与检验统计量后，我们得到了它们的渐进性质。于此同时我们还通过Malliavin分析定义了有关混合分数布朗运动的随机积分。项目的研究成果在保险公司数据分析，铁轨沉降检测方便有着实际的使用意义。