奇点指数理论及其在复几何中的应用

复几何中一个重要的未解决问题是法诺流形上凯勒-爱因斯坦度量的存在性问题。在判断存在性时一个重要的工具是田刚教授所引入的一系列阿尔法不变量。这些不变量恰好与多复变中的奇点指数以及代数几何中的"log canonical threshold"相同。..本项目将研究奇点指数分析理论的一些问题，以及他们在复几何中的应用。特别地，我们将研究关于阿尔法不变量的一些猜想和问题，以及它们在法诺流形上凯勒-爱因斯坦度量存在性问题上的应用。具体地，我们将研究如下一些问题：..（1）阿尔法不变量的相关问题；.（2）奇点指数半连续性定理的推广及其在凯勒-爱因斯坦度量存在性上的应用；.（3）与奇点指数相关的分析问题。

本项目主要是研究与阿尔法不变量、复奇点指数相关的复分析以及凯勒几何中的相关问题。重点研究了如下两个问题：一是Futaki 不变量在 blowup 复曲面上的行为。我与中科大的李皓昭副教授利用“局部化”的技巧研究了经典的 Futaki 不变量在流形在向量场零点处做 blowup 之后关于例外除子体积的展开式。二是奇点指数与 K-能量的properness之间的关系。我和中科大的李皓昭副教授以及南京大学博士生 姚懿合作，通过研究J－泛函的临界点，证明了如下结果: 对于一类与反典范类差别不是特别大的凯勒类, 如果阿尔法不变量大于 n/(n+1), 则 K-能量泛函是 proper 的。