紧复流形自同构群与典则度量的形变

In complex geometry, semicontinuity theorem about coherent sheaves is very important and very useful. Apply this theorem to the sheaf of germs of holomorphic vector field on a compact complex manifold, we will known the dimensions of the corresponding holomorphic automorphism group are upper-semicontinuous when the complex structure deforms. .On the other hand, Ebin found out some kind "semicontinuity" of the corresponding isometry groups when the Riemannian structure of a compact manifolds deforms. Inspired by Ebin's theorem, the author intends to research the "semicontinuity" theorem about the holomorphic automorphism groups of compact complex manifolds when the complex structure deforms. Such "semicontinuity" theorem can be regarded as an improvement of the result by apply semicontinuity theorem of coherent sheaves to the sheaf of germs of holomorphic vector field..The relationship between the existence of canonical metrics on a Kahler manifold and some kind stability (usually in some algebraic-geometric sense) of the manifold is a central topic in differential geometry. Szekelyhidi have successfully applied the K-stability to investigate the deformations of constant scalar curvature Kahler metric when the complex structure deforms. The author plan to apply Modified K- stability to investigate the deformation of Kahler-Ricci soliton when the complex structure deforms.

在复几何中，关于凝聚层（coherent sheaves）的半连续性定理是非常重要而且非常有用的，将该定理应用于全纯向量场的芽层，可知当紧复流形的复结构形变时，相应的全纯自同构群的维数具有上半连续性。另一方面，Ebin发现了关于紧黎曼流形的黎曼结构形变时相应的等距群本身有某种“半连续性”。受Ebin的定理的启发，作者打算研究关于紧复流形的复结构形变时，相应的全纯自同构群本身的的“半连续性”定理，这种“半连续性”定理可看作上面说的凝聚层的半连续性定理应用于全纯向量场的芽层所得结论的改进。.凯勒流形上的典则度量的存在性与流形本身的某种稳定性（通常是某种代数几何意义下的稳定性）的关系是微分几何的中心课题。Szekelyhidi成功地应用K稳定性研究了当流形复结构形变时，常数量曲率凯勒度量的形变。作者打算应用Modified K-稳定性去研究当流形复结构形变时，凯勒-里奇孤立子度量的形变。

1.在复几何中，关于凝聚层（coherent sheaves）的半连续性定理是非常重要而且非常有用的，将该定理应用于全纯向量场的芽层，可知当紧复流形的复结构形变时，相应的全纯自同构群的维数具有上半连续性。另一方面，Ebin发现了关于紧黎曼流形的黎曼结构形变时相应的等距群本身有某种“半连续性”。受Ebin的定理的启发，作者研究了关于紧复流形的复结构形变时，相应的全纯自同构群本身的的“半连续性”定理，这种“半连续性”定理可看作上面说的凝聚层的半连续性定理应用于全纯向量场的芽层所得结论的改进。目前，作者在代数流形的极化形变的条件下证明了自同构群的半连续性定理。作者希望能在不久的将来证明一般的复流形形变情形的同构群的半连续性定理。.2.凯勒流形上的典则度量的存在性与流形本身的某种稳定性（通常是某种代数几何意义下的稳定性）的关系是微分几何的中心课题。Szekelyhidi成功地应用K稳定性研究了当流形复结构形变时，常数量曲率凯勒度量的形变。作者打算应用Modified K-稳定性去研究当流形复结构形变时，凯勒-里奇孤立子度量的形变，但在作者的研究进程中，Eiji Inoue已经按类似的思路彻底解决了该问题。.3.本项目参与者万建明对近复结构的可积性和黎曼几何的若干问题进行了研究，发表了两篇论文，其中一篇文章通过引入调和近复结构，得到了近复结构可积性的一个必要条件，另一篇文章研究了Brown球面定理的度量版本。