特殊类型结合方案及其在组合设计中的应用

The theory of association schemes, as a mathematical branch, has been a key field and hot research area in algebraic combinatorics. In this project, we mainly concerned with the characterization of distance-regular graphs with classical parameters and constructions of association schemes with Q-polynomial property, connections between classical combinatorial designs and association schemes with special property (Q-polynomial, amorphous, nons-ymmetric), and applications of association schemes to subspace codes and designs. The results from this project will advance the resolution of two central questions in algebraic combinatorics, and provide theoretical support for code designs in telecommunication engineering.

结合方案作为一个独立的数学研究分支，一直是代数组合领域的核心内容和热点课题。本项目将主要研究具有典型参数的距离正则图的刻划和探讨Q-多项式方案的构造，建立Q-多项式方案、无形态方案和非对称方案与经典组合设计之间的联系，系统地研究 这几类特殊类型的结合方案在经典组合设计中的应用，以及结合方案在子空间码与子空间设计中的应用。本项目的研究将大大推进代数组合领域核心问题的研究进程，也为通讯工程中的编码设计提供理论支持。

本项目主要研究Q-多项式结合方案，距离正则图，批处理码及相关问题。按照计划书的要求进行工作，项目研究进展顺利，基本完成了预定的计划任务。. 本项目主要内容及结果有：在Moorehouse-Williford的两个Q-多项式结构的非本原系列的基础上得到第一系列无穷个类数的参数；编写了计算大类数结合方案的结构参数的程序，从而可以借助计算机研究非交换， 无形态， Q-多项式方案等；完成了对4个类带有两个Q-多项式结构的距离正则图的分类，确定了仿射设计的距离图的谱；以特征分别为奇数和偶数的有限域上的m维正交子空间为顶点集构作了一类图, 确定了这类正交图的每个次成分的结构及其参数，并得到一类新的图，即一般强正则图；得出一些关于一类2级一般强正则图的谱及其参数间限制关系的研究成果，刻画了几类具有特殊参数的拟强正则图和一般强正则图的结构；利用图运算，结合方案等组合结构分别构造了几类具有不同参数的一般强正则图，通过构造一类凯莱图得到可以具有任意级数的一般强正则图；给出组合批处理码最优值N（n; k; k + 1）的一个下界和若干关于最优值的单调性结论，并由此确定了几类CBC 的最优值；利用二部图和具有特定结构的超图构作k=5时的最优组合批处理码；通过建立非适应性群测与纠删组合批处理码之间的联系，利用非适应性群测的数学模型分离矩阵和析取矩阵分别给出了构造最优纠删组合批处理码的新方法；对于社交网络的信息传播给出了两个有效算法。项目执行期间，项目组共发表（或接收）学术论文 9 篇，其中 SCI源期刊论文7 篇，EI收录2篇。