组合方法在两类特殊恒等式中的应用

组合等式是组合学研究的重要分支，其证明往往要很巧妙地构思。本申请旨在研究两类特殊的组合等式：Dyson型等式与Pfaff型等式。.Dyson型等式（如，Dyson, q-Dyson, Morris与Aomoto等式）是一类特殊的Laurent级数等式，其来源于粒子物理学，具有深刻的物理学背景。在天元基金支持下，我们已经对Dyson型等式进行了初步研究，得到了一些很好的成果。本申请拟在前期研究基础上，重点研究新Dyson型等式的构造、q模拟Dyson型等式的组合性质、Dyson型等式组合证明三方面的内容。这些问题均为近年来受到广泛关注的前沿课题。.Pfaff型等式是一类特殊的超几何级数等式，其可以导出许多著名的组合等式。在先期工作中我们已经给出了两个Pfaff型等式（Simons与Munarini等式）的组合解释。在此基础上我们拟从组合解释入手着重来研究其组合性质与q模拟。

组合等式是组合学研究的重要分支，其证明往往要很巧妙地构思。本项目在已取得的良好工作基础上，应用计数组合学理论对两类特殊的组合等式：Dyson型等式与Pfaff型等式进行了深入系统的研究。本项目的研究基本按计划进行，圆满完成了申请书中“预期每年发表1-3篇论文”的计划。具体来说，我们的研究要点和研究成果主要集中在下述几个方面：. 1）基于陈永川院士给出的经典“分解树”算法，我们给出了不交树的分解与融合算法，从而给出了不交树计数公式的组合解释，进一步的，解决了Hough在《The Electronic Journal of Combinatorics》杂志上提出的一个公开问题。. 2）本项目利用经典的组合方法和结构，并根据标准简化分解刻画了匹配。进一步的，应用此刻画方式给出了“避免12312”的匹配的表示方法。在此基础上，找到了“避免12312”的匹配与三叉路之间的一个双射。. 3）利用经典的组合方法和结构，并结合Dyson型组合等式的研究思路，本项目首先解决了给定左、右叶子数的不交树的计数问题。其次，通过将平面树中的一个著名对合拓展在不交树中，我们用组合方法解释了不交树中左叶子数与非根正则顶点数是对称联合分布的。最后，我们构建了不交树的右叶子与不交森林之间的一一对应关系。. 4）基于Dyson型与Pfaff型等式的组合解释，并结合两类Stirling数的组合意义，组合证明了Hsu提出的含有二项式系数与两类Stirling数的6个组合等式。. 5）p-叉树，作为二叉树这一组合结构的推广，我们研究了其右叶子的计数问题。此外，我们还组合证明了p-叉树中一类有关右叶子数奇偶性的等式。. 6）我们与陈永川院士合作，借助部分双染色排列，将Boros-Moll多项式系数对应到一种组合结构中。进一步的，应用该模型，我们用组合方法解释了Boros-Moll多项式系数所满足的一个递归关系。此外，该模型同样可以应用在解释Boros-Moll多项式系数的对数凹性质中。