组合学和概率论中的单峰型问题研究

Unimodality problems are one of the most fundamental topics in combinatorics, probability theory and other branches. They have been widely applied in statistics mechanics, computer science and economics. There are many active areas between combinatorics and probability theory. Probabilistic methods are a very powerful tool in combinatorics. But unimodality problems have not received enough study as a conjunction between combinatorics and probability theory. The project focuses on the applications of probabilistic methods to unimodality problems in combinatorics. The project includes the following issues: (i) the unimodality problems in the triangular arrays of multinomial coefficients; (ii) the unimodality and PF property of high dimensional Narayana numbers; (iii) the unimodality of the rank sequence of the lattice of order ideals of fences. (iv) the inverse problems related to log-concavity of the sum of two independent random variables. The project can provide a new approach to unimodality problems.

单峰型问题是组合学和概率论等多个数学分支中最基本的问题之一，并在统计力学、计算机科学、经济学等学科中有广泛的应用。组合学与概率论的交叉领域是当今的数学研究热点，其中的概率方法是组合学研究中强有力的工具。而将单峰型问题作为组合学和概率论的交叉点来研究尚处于初始阶段。本项目旨在以概率方法研究组合学中的单峰型问题。本项目的研究内容主要包括: 研究多项式系数组成的三角中的各种单峰型性质；研究高维Narayana数的单峰性和PF性质；研究栅栏偏序集的序理想格的秩数序列的单峰性；研究关于随机变量之和保持对数凹性的逆问题。本项目从方法上为单峰型问题的研究提供了新途径。

单峰型问题是组合学、概率论、代数学等多个数学分支中的基本问题之一，并且有着广泛的应用。本项目即是围绕组合学中分别具有概率论背景和代数背景的单峰型相关问题开展研究工作并取得了与研究目标相关的成果。具体内容主要包括：(1) 应用有限差分方法计算了组合序列构成的多重卷积序列所构成的方阵上述方阵中的某几类行列式，从而解决了V. Hoggatt和M. Bicknell提出的一个公开问题, 并且统一给出了V. Hoggatt、M. Bicknell和G. Bergum等人一系列文章中的结论；作为在Bell型Riordan方阵中的应用，我们回答了P. Miana 和N. Romero提出的一个关于投票数的方阵的行列式计算问题，并且计算得到由广义Catalan数和广义Motzkin数构成的组合方阵中的行列式,这一结果对于研究特定的组合矩阵的TP性质具有重要作用；(2)从全新的角度建立了经典的投票路径与自由李代数理论中叉形有向树上的封闭流之间的一一对应关系，从而证明了F. Chapoton所猜想的计数公式，该成果是对概率论中的经典投票问题的一个新的细化解释，建立了自由李代数理论中叉形树分解与概率论中投票问题以及组合学中偏序集的套链分解之间的联系，并且对于研究自由李代数中有根树上的统计量的发生函数系数的单峰型性质具有重要意义；(3)证明了G. Bennett所推广的Schur定理中所蕴含的某类函数的一个单调性质，从而肯定回答了G. Bennett提出的一个公开问题，并得到了与Harber不等式相关的结果。进一步的，我们还得到了一类新的具有对称单峰性质的组合序列；(4)应用经典不等式证明了两个具有相同单峰分布序列的离散型随机变量之差的分布序列是对称单峰的，从而肯定性地解答了A. Abouammoh和A. Mashhour所提出的问题。