具有测度系数的Sturm-Liouville算子的谱性质

This paper deals with the spectral properties of the Sturm-Liouville operators with measure-valued coefficients. Firstly, we discuss the relationships of the eigenvalues under different boundary conditions on the basis of the Prufer transformation and the asymptotic properties of the fundamental solutions on the parameter λ. Then, by introducing a proper topological space, we also pay particular attention to the dependence of the eigenvalues on the coefficients of the operators and the boundary conditions. These investigations will extend the results in the classical Sturm-Liouville theory. Moreover, Schrödinger operators with δ and δ' type conditions on metric graph will be researched by means of the Sturm-Liouville operators with measure-valued coefficients, Glazman-Povzner-Wienholtz theorem will be extended in our research, and then the discreteness of the spectrum will be studied by utilizing the form approach and the basic decomposition of the function space.

本项目主要研究具有测度系数的Sturm-Liouville算子的谱性质。首先，利用Prufer变换以及基本解关于参数λ的渐近性质，得到不同类型的自伴边界条件下特征值之间的关系。通过引入恰当的拓扑空间，研究特征值关于算子系数以及边界条件的依赖性， 所得结果将推广经典Sturm-Liouville理论的相关结论。此外，我们还将利用具有测度系数的Sturm-Liouville算子研究一类度量图上具有δ型条件以及δ'型条件的Schrödinger算子，推广Glazman-Povzner-Wienholtz定理，并且基于二次型理论以及空间分解，给出算子谱纯离散的判定准则。

本项目主要围绕微分算子特征值关于算子的依赖性以及微分算子逆谱问题展开研究。在微分算子特征值关于算子的依赖性方面，我们做了以下工作：(1)针对具有测度系数的三阶微分算子，我们得到算子的第n个特征值关于测度系数p, q在弱*拓扑下的连续依赖性以及在强拓扑下的Frechet可微性；(2)针对一维边界带跳的扩散算子，讨论了算子的特征值以及特征函数关于算子的依赖性，并且得到算子的谱间隙关于扩散系数， 漂移系数以及边界中概率分布的连续依赖性，同时我们给出了算子特征值的代数重数的计算准则；(3)针对具有分布势函数的Bessel算子，分析了算子特征值的分布以及特征函数的振荡性质，进一步给出特征值关于边界条件的连续区域。所得结果为进一步研究微分算子的谱性质以及数值计算提供了理论依据。在微分算子逆谱问题方面，我们讨论了具有转移条件的非自伴Sturm-Liouville算子的唯一性和重构问题，以及部分信息已知的Dirac-Bessel算子的唯一性问题，研究如何通过特征值以及赋范常数的信息来唯一确定或者重构算子，所得结果为逆谱理论的研究提供了新的思路。