变分不等式问题的有限元高精度算法

变分不等式问题的数值算法是计算数学中一个十分重要的研究领域,它在物理、力学、工程学和金融管理科学等领域有着广泛的应用。近些年来，以有限元方法为代表的离散方法取得了长足的发展，在各种变分不等式模型的数值求解方法中扮演着重要的角色。另一方面，以超收敛研究为代表的有限元高精度算法在变分等式偏微分方程中已经得到了深入的研究和成熟的发展，但是在变分不等式问题的模型方程中其相关研究还很稀少。本课题主要研究两类重要变分不等式模型的有限元高精度算法和理论，即弹性接触问题和薄膜障碍不等式问题的各种有限元方法的超收敛分析以及高精度算法，并力求发展出变分不等式有限元法高精度分析的初步基础和研究技巧。通过本课题的研究可以显著地提高这些变分不等式问题有限元方法的收敛速度和求解效率，进一步揭示和发挥有限元方法离散求解的优越性，此外，变分不等式有限元的高精度算法对于其实际工程计算也具有良好的应用和发展前景。

变分不等式问题是一类非常重要的非线性问题，有限元法作为一种求解变分不等式问题的常用数值方法，研究其高精度算法和超收敛性质十分重要。我们通过发展一些精细的分析技巧，将变分不等式问题有限元超收敛的研究扩展到薄膜障碍问题上。在精确解较弱光滑的假设下证明出了协调有限元方法比原收敛速度高1/2 阶的超收敛结果。数值算例表明了在正则性比较好的区域，有限元的超收敛能量模可以达到2阶。我们对变系数的二阶椭圆方程在三角形剖分网格关于一点x0局部对称情况下，证明了高阶有限元的超收敛。利用弱估计以及局部对称技巧，我们证明了当p分别是奇数（p≥3）或偶数（p≥4）时，离散误差可达到O(h^(p+1) 〖|lnh|〗^2)和O(h^(p+2) 〖|lnh|〗^2)，这说明弱估计和局部对称技巧的结合，对变系数的二阶椭圆问题的超收敛研究是有效的。此外，对热通量数值重构问题（即通过外部可测量的Dirichlet边界的数据信息恢复内部不可测的Neumann边界数据）的有限元方法进行了先验误差估计。并对稳定的热传导系统的热通量数值重构用自适应有限元方法进行了收敛性分析。我们对非协调有限元方法和各向异性有限元方法也有一系列的新结果。