相关于Heisenberg型群上算子的函数空间实变理论与最佳不等式

Both the real-variable theory of function spaces and the boundedness of operators on Heisenberg group are always one of the important contents in harmonic analysis, On the same time, the real-variable theory is an important tool in the study of the boundedness and sharpness of operators. The applicant and his collaborators have used the real-variable theory of function spaces on Heisenberg group to obtain a series of sharp inequality associated with sub-Laplacian operator. This project aims to develop a real-variable theory of function space associated with sub-Laplacian operator、Grushin operator and the corresponding fractional power operators on Heisenberg type group, moreover, we will study the sharp inequality by using the real-variable theory and the analysis and geometry structure contained in these operators. As applications, this project aims to apply all the above sharp inequalities to the study of the geometry characterization for domain and the regularity of some partial differential equations.

Heisenberg群上函数空间的实变理论和算子有界性是调和分析研究的重要内容之一, 同时实变理论为算子的有界性以及界的最佳性的研究提供了重要的研究工具。申请人及其合作者应用Heisenberg群函数空间实变理论在研究相应于sub-Laplace算子的最佳不等式方面已经获得了一系列的结果。本项目拟在之前工作的基础上进一步考虑并发展与Heisenberg型群相关的次Laplace算子、Grushin算子及其相应的分数次幂算子相关的函数空间的实变理论，并利用相关算子本身所蕴含的分析和几何结构和函数空间的实变理论进行最佳不等式的研究。作为应用，项目将最佳不等式应用于区域的几何刻画以及相关偏微分方程的正则性研究。

与算子相关的函数空间的实变理论以及相应于算子的最佳分析不等式都是调和分析研究的重要内容之一。该项目主要研究与Grushin算子相关的函数空间的实变理论，并利用相关算子本身所蕴含的分析和几何结构和函数空间的实变理论进行最佳不等式的研究，并应用于区域的几何刻画以及相关偏微分方程的正则性研究。得到了如下几个主要结果：.1. 有界区域上最佳加权Hardy-Rellich不等式的完全刻画；与距离函数有关的带齐次权函数的分数阶Hardy不等式；有界区域上一类与 k -Heissian 算子相关的带余项Hardy不等式；各向异性Heisenberg群上一类非凸区域上的Hardy不等式。我们的论文第一次给出了有界区域上最佳加权Hardy-Rellich不等式的完全刻画，给出了与k -Heissian 算子相关的带余项Hardy不等式的第一个结果，对这类最佳不等式的研究将有助于对k –Heissian方程的解的正则性的研究。.2. 利用Rothschild–Stein提升和Coifman–Weiss转移方法，得到了由Grushin算子生成的Grushin空间与提升幂零群之间的重要联系，建立了相应于Grushin算子的Hardy空间的原子刻画结果。本文的结果对由特殊算子生成的函数空间理论的研究是一个很好的补充。.3. 研究了无磁阻可压缩MHD和双流体模型的整体弱解存在性、整体适定性及长时间行为。完整解决了一维初边值问题情形，即整体解的存在性，对初值的连续依赖性以及长时间行为。我们的研究将有助于更好地理解一般情形中碰到的主要困难并提供思路。利用非局域对称的方法研究了耦合的Whitham-Broer-Kaup系统，得到了包含Lie点对称在内的一个八维的Lie代数，并构造了此代数的一维最优系统，进一步给出了相应的群不变解。应用Riemann-Hilbert 方法给出了高阶Chen-Lee-Liu 方程的N孤子解并给出其行列式形式。这些结果对可积系统的更好理解是有益的补充。