外推瀑布式多重网格法及其并行计算

快速求解由差分或有限元法导出的大型线性方程组是大规模科学计算中的重要问题。人们的目标是对N阶方程组用O（N）次乘除运算得到所需精度的解。多网格法第一次实现了这个目标，成为求解大规模问题的最有效方法之一。特别是由德国Bornemann(1996）等人提出的瀑布式多网格法（CMG）,从粗网计算开始，只采用插值与迭代两种运算，程序容易实现，这更令人注目。但我们发现,采用线性插值带来两个弊端，为此提出新外推瀑布型多网格法（EXCMG），即沿用CMG的思想，但将粗网上插值改为新外推与高次插值，为密网提供更好的初值。数值试验表明新算法有更高的效率。本项目将研究在弱空间中的渐近展开及EXCMG的收敛性，并研究大规模并行计算。这是超收敛方法继提高精度和后验误差估计之新的第三种新应用。

我们提出外推瀑布多网格法的核心是：用新外推和二次插值前两层网格的解得到下一层密网格上的高精度近似值，再作若干次CG迭代。本项目深入研究。对光滑解和非光滑解在均匀网格情形，及一般的分片均匀网格情形，研究了方法的理论基础，并作了较大规模的数值实验，证实此法从精度及速度上都优于原来的瀑布多网格法，甚至经典多网格法。数值实验证实，为求解非线性偏微分方程，外推多网格法更有优势。此外, 还证明了椭圆双p次矩形元在节点有最高2p阶超收敛(历时40年的2p-猜想)。证明了Hamilton系统有限元的长时间轨道偏离随时间线性增长(冯康猜想). 提出牛顿流算法解高维非线性代数方程组取得重要进展.