单子理论及其在Hom量子群中的应用

Currently the theory of monads and Hom-quantum groups have been one of the most powerful tools to study the theory of q-deformations, and monoidal categories and their representations. Based on the applicant's work, this proposal will focus on the bimonad theory and the application on Hom-Hopf algebras. Indeed, we will first compute the braided structure in the category of mixed bimodules over a bimonad and a bicomonad, and specially discuss the applications on Hom-Hopf algebras and the solutions of the QYBE. In order to investigate the Hom-entwinings structures and the Hom-type center construction, we will also discuss the smash (co)product system of bi-(co)monads. Finally, we will construct the new 2-monoidal cateogries and study the categorification of Hom-bialgebras, and compute the gauge transformation for Hom-quantum groups.

关于单子理论和Hom量子群的讨论是近年来的学术热点，其对研究张量范畴及表示、量子离散型形变具有重要意义。本项目将主要研究双单子理论及其在Hom-Hopf代数上的应用。具体地，拟从如下几个方面着手研究：首先，建立双(余)单子的混合双模范畴中的辫子结构，并将我们的理论应用到Hom量子群上，得到一组QYBE的解系；其次，讨论双(余)单子的smash(余)积体系，作为应用，将引入Hom缠绕结构，并给出Hom化的中心结构定理；最后，将构造新的2-张量范畴，讨论Hom-双代数的范畴化构造，并刻画Hom量子群的规格化变换。

双单子的概念起源于对非辫子张量范畴中Hopf代数的研究，其对ribbon结构、范畴中心、Hopf代数胚乃至凝聚范畴等热点问题都提供了新的工具与方法。本项目致力于研究双(余)单子的辫子混合数据、smash(余)积系统等理论，并讨论其在Hom型量子群中的应用。具体地，我们研究了如下问题：双（余）单子的混合双模中的张量结构与辫子结构的等价刻画、其在Hom-量子Yang-Baxter方程解系上的应用；Hom-L-R-smash双积的刻画及双余单子的smash余积系统的构建、其在Hom-缠绕结构上的应用；含参数的广义Hom-YD模的引入及Hom-YD模范畴的伪对称性、张量型Hom-双代数的余半单性、Hom-crossed余积等Hom-量子群中一些经典结构的分析等。本项目的关键研究手段为范畴论、Tannaka对偶理论和同调方法等。相信本课题所得结果将丰富单子和Hom型量子群的结论，并将在量子Yang-Baxter方程解的构造、代数量子形变和张量范畴理论等方面中有重要应用。