广义线性响应特征值问题的理论及算法研究

The generalized linear response eigenvalue problem arises from computing excitation states of physical systems. Such an eigenvalue problem is usually of large scale - the matrix dimensions for a molecule of reasonable size can easily get up to tens of millions. It is considered much more difficult because it is non-Hermitian in nature. But it has internal Hermitian structures in each of the submatrix blocks, which previously have been largely unexploited. Nowadays, most of works for the linear response eigenvalue problem focus on the internal symmetric submatrix blocks are all Hermitian positive definite. This project involves the development of new theory and advanced computational methods through fully exploiting the internal symmetric structures, including designing new efficient algorithms which are capable of computing several internal eigenvalues simultaneously. Including all of internal symmetric submatrix blocks are symmetric positive definite, the new algorithms still work when one of them is indefinite. We also study the partitioned perturbation theory, the cluster-robust and majorization convergence theory. These principles should improve the systems of the theories and computational methods for the generalized linear response eigenvalue problems. With the successful completion of the project, a significant contribution will be made to the state-of-the-art physical excitation energy computations via random phase approximations.

广义线性响应特征值问题广泛应用于计算物理系统的激发态。这个问题的规模通常是比较大的，对于一个大小合理的系统，涉及到的矩阵就达到上千万阶。该问题涉及的矩阵虽然内部每一个子矩阵都是Hermitian，但是问题本身却不是Hermitian特征值问题，这给计算增加了难度。目前关于该问题的研究主要集中在内部子矩阵都是正定的情况。本项目将通过深入剖析该问题的内部结构，发展新的理论和算法。主要内容包括：设计能够同时计算多个内部特征值的新算法，新算法将同时兼顾内部子矩阵都是正定和允许其中一个是不定的这两种情况；研究该问题的分块扰动理论以及cluster-robust和majorization收敛性理论。这些算法和定理，将完善广义线性响应特征值问题的理论和算法体系，有助于研究人员将传统对称特征值问题的一些成熟算法和理论推广至这类问题。完成本项目，将为随机相位近似计算物理系统激发能量提供高效的计算方法。

广泛出现于计算量子化学和物理中的线性响应和广义线性响应特征值问题需要计算靠近于0附近的部分特征值和特征向量。我们提出了一种块Lanczos方法和Golub-Kahan-Lanczos算法用于计算该问题。比起单向量的Lanczos方法，这两种算法可以更快，更有效率计算想要的特征簇。同时，我们对这两种算法的收敛性定理进行了证明，这些结果揭示了计算得到的近似特征值和近似特征子空间的精度。重启技术也被我们嵌入到这两种算法中，用于减轻计算费用，储存量需求以及增加算法的数值稳定性。另外，在算法上，我们还提出了基于复围线积分函数的FEAST算法。该算法可以看作由有理过滤函数与Davidson方法相结合得到，它通过将谱分割成几个互不相连的小区域，算法可以并行求解线性响应特征值问题。同样的，我们建立FEAST算法的收敛性定理。. 在理论上，我们建立了Majorization类型的Rayleigh-Ritz收敛性结果，用于揭示特征值近似与压缩子空间和近似压缩子空间之间距离的关系。通过这些Majorization结果，可以立即得到许多上界用于估计基于近似压缩子空间提取出来的近似特征值的精度。另外，将这些证明思想推广到奇异值问题上面。给定一对近似奇异子空间，我们给出了两种类型的奇异值误差Majorization上界。该上界通过奇异子空间与它的近似来刻画。