环面拓扑及其相关问题的研究

Toric topology is an emerging new research field in recent years, which is directly related to algebraic geometry, (symplectic) geometry, combinatorics, algebraic and so on. We shall carry out this research project with this field of toric topology as a basic research platform. By combinning with some problems produced in toric topology, we shall study some important and elementary key problems in topology and mathematics and also investigate the essential relationships and onenessunitarity in some aspects of many different research fields. We shall try our best to promote the development of toric topology in the range and quality and to carry out more applications of toric topology. Our research project includes the following contents: 1. Equivariant cobordism classification and the calculation of equivariant cobordism ring. 2.On the study of nonfree orbit configuration spaces and the generalized configuration spaces. 3.The existence problem of group actions. 4.Decomposition of group actions,polytopes (mod 2-GKM graphs) and polynomials. 5.On the study of Smith problem.

环面拓扑是近年来新出现的研究领域，直接涉及代数几何、(辛)几何、组合、代数等领域。本申请项目将以环面拓扑这个研究领域做为基本的研究平台，结合环面拓扑中存在的问题，研究拓扑学及数学中的一些重要和基本核心问题以及探讨数学中不同领域在某些方面的本质关系及统一性，努力促进环面拓扑在深度和广度两方面的发展及其开展应用。研究内容具体包括： 1.等变配边分类问题以及等变配边环的计算 2.非自由轨道构形空间以及广义构形空间的研究 3.群作用存在性问题。 4.群作用的分解性、多面体（模2-GKM图）的分解性、以及多项式的分解性。 5.关于Smith问题的研究。

环面拓扑是近年来新出现的研究领域，直接涉及代数几何、(辛)几何、组合、代数等领域。本申请项目以环面拓扑这个研究领域做为基本的研究平台，研究拓扑学及数学中的一些重要和基本核心问题以及探讨数学中不同领域在某些方面的本质关系及统一性。主要研究内容包括： 等变配边分类问题； 非自由轨道构形空间以及广义构形空间的研究；群作用存在性问题；群作用的分解性、多面体的分解性、以及多项式的分解性，以及Smith问题。获得了如下重要结果：.证明了在作用群为环面群的情形下，等变酉配边可由等变陈数完全决定，回答了Guillemin，Ginzburg，Karshon所提的猜想。.对Buchstanber-Panov-Ray所提的环面群表示何时为一个具有环面群作用的酉流形的不动点信息之问题给出了答案。结果是用局部化公式的方式描述出一个充分必要条件。.完全等变配边分类了具有有效模2环面群作用且不动点为孤立点的光滑闭流形，与此同时回答了文章【Lü, Zhi, 2-torus manifolds, cobordism and small covers. Pacific J. Math.241 (2009), no. 2, 285–308】中所提猜测。.否定了Buchstanber-Panov-Ray的关于quasitoric流形的酉配边和SU配边一个猜想。.定义了orbit braid的概念，它与经典辫子有很大不同，且决定了两根orbit辫子所决定的群。.研究了Stanley-Reisner面环中的基本对称多项式的内蕴性质，揭示了多项式的分解性与多面体的分解性之间的一致性。给出了可用等变陈数来刻画单凸多面体的分解性。.定义了外Stanley-Reisner面环，证明了在外Stanley-Reisner面环中最高阶基本对称多项式的分解性可刻划出Buchstaber不变量为m-n的充要条件。.我们还在组合及复几何中得到了应用：在组合方面，证明了一个n维单多面体P为n-colorable当且仅当P上的moment-angle流形的第n个等变陈类可分解为n个因子的乘积。更一般的，证明了一个n维单多面体P为L-colrable当且仅当P上的moment-angle流形的第n个等变陈类为L个2次类的第n个基本对称多项式。在复几何方面，刻画出一个单多面体P上的quasitoric流形允许近复结构的一个充要条件。