环面拓扑中单纯偏序集的着色及相关问题的研究

For the last several decades, the general theory of torus actions has been developed quickly and forms a new mathematical field which merits the title toric topology. This project is devoted to the study of the following problems in toric topology: (1) A simplicial poset is a finite poset S with a minimal element 0 such that every interval[0,p] for p∈S is a boolean algebra. We will introduce two notions of linear coloring and regular coloring of a simplicial poset, find a deformation retract of a linear colored simplicial poset and determine its homotopy type. Moreover, we will study related properties induced by regular coloring of a simplicial poset. (2) We will associate a group of projectivities to an arbitrary strongly connected simplicial poset and determine the groups of projectivities for simplicial posets of low dimensions and the group of projectivities for the join of two simplicial posets. (3)In 1991, Davis and Januszkiewicz introduced a topological version "small cover" of toric variety. We will determine equivariant cobordism classification of small covers over the product of some simplices.

近几十年来, 对环面作用的研究非常迅速地发展, 并产生了一个新兴的数学领域-环面拓扑。本项目拟研究环面拓扑中的以下问题：(1)单纯偏序集是一个有限偏序集S, S有一个起始元0, 并且对于每一个p∈S, 区间[0,p]是一个布尔代数。我们拟引入单纯偏序集的线性着色和正则着色这两个概念，并找到线性着色的单纯偏序集的一个形变收缩核，从而决定它的伦型，同时研究单纯偏序集的正则着色所诱导的性质。(2)拟给任意一个强连通的单纯偏序集联系一个射影群，并决定低维的单纯偏序集和两个单纯偏序集并的射影群的代数结构。(3)1991年，Davis和Januszkiewicz引入了环面簇的一个拓扑版本-小覆盖。我们拟决定多个单形乘积上小覆盖的等变协边分类。

作为等变拓扑的一个重要分支，环面作用的研究在过去的几十年里，得到了长足的发展，并产生了一个新兴的数学领域-环面拓扑。环面拓扑已经变成了一个非常活跃的领域，和其他学科有紧密的联系。在本项目的支持下, 我们引入了单纯偏序集的线性着色和正则着色这两个概念，并找到了线性着色的单纯偏序集的一个形变收缩核，从而决定了它的伦型，同时研究了单纯偏序集的正则着色所诱导的性质, 推广了Civan-YalCin[2007, J. of Combin. Theory, Series A]和Notbohm [2010, Math. Z.]的结果。给任意一个强连通的单纯偏序集联系了一个射影群，并决定了低维的单纯偏序集和两个单纯偏序集并的射影群的代数结构, 推广了Joswig [2002, Math. Z.]的结果。. 环面拓扑领域中一个具有里程碑式意义的工作是Davis和Januszkiewicz的论文Davis-Januszkiewicz [1991, Duke Math J.]。他们从拓扑的角度，深刻地研究了环面簇的一个拓扑版本：小覆盖。我们决定了单形和3维立方体乘积上小覆盖的协边分类。通过计算群作用的轨道个数, 我们决定了单形的乘积, 2维立方体和多边形的乘积, 有3个侧面的棱柱和单形的乘积以及循环多胞形C^{3}(6)的对偶和单形的乘积上小覆盖的等变同胚类的个数。