非线性发展方程解的性质和图像处理中的应用

In this project, firstly we deal with expansion rate of interface, complete and incomplete blow-up, extinction, Fujita critical exponent, secondary critical exponent, life span, uniform boundedness and asymptotic behavior in large time on solutions of initial value and initial boundary value problem to nonlinear parabolic equations,and properties of solutions to a quasilineaner parabolic parabolic chemotaxis system and a chemotaxis system with Logistic source; secondly, we study local well-posedness, existence and uniqueness of global solutions, blow-up criterion, property of persistence, and infinite speed of propagation for nonlinear dispersion wave equations; thirdly, based on partial differential equations, we study image denoising, image repair and image segmentation. These problems are one of front and hot problems in research on theory of nonlinear evolutionary equation and inmage processing. We will strive to solve some hot problems and open problems within a few years in the future.

本课题首先针对非线性偏微分方程（组）初值和初边值问题解的交界面的扩张速率、完全与非完全爆破、熄灭、Fujita 型临界指数、第二临界指数、生命跨度、一致有界性、大时间渐近行为等问题以及拟线性抛物-抛物（抛物-椭圆）趋化模型和带有Logistic源的趋化模型的解的性质的研究；其次考虑几类非线性色散波方程解的局部适定性、整体解的存在唯一性、爆破准则、持久性质以及无限速度传播等问题；最后基于偏微分方程的方法，去研究图像去噪、图像修补、图像分割等问题。这一系列问题是非线性发展方程理论和图像处理研究中的前沿和热点问题之一。力争在将来几年内解决其中一些热点问题和尚未完全解决的公开问题。

本项目基本上是按原计划进行研究，首先针对几类Keller-Segel趋化模型解的全局存在性、一致有界性、大时间渐近行为、收敛速率、衰减估计、有限时间爆破等问题；其次考虑非线性抛物初值和初边值问题解的全局存在性、爆破、死角、熄灭、临界指数、生命跨度和大时间渐近性态等问题；第三，研究几类非线性浅水波方程解的局部适定性、整体存在性、爆破准则、持续性、解析性等问题进行全面而深入细致的研究；第四，利用变分法和Krasnoselskii理论，得到了几类有界区域上的Kirchhoff-type椭圆方程解的多解性；最后针对几类混沌模型吸引子的存在性、不变集和吸引域以及解有界性进行研究，并且通过数值模拟说明了方法的可行性。通过使用上下解方法，凸分析，能量方法，scaling技巧，傅里叶分析，稳态解和自相似解，带权的时空估计，对于这些热点问题取得了一系列成果。