导出范畴的粘合和同调约化

Recollements of triangulated categories, originally introduced by Beilinson, Bernstein and Deligne for study of the derived categories of perverse sheaves over singular spaces, are widely applied to various areas of mathematics, including representation theory, algebraic K-theory, algebraic topology and algebraic geometry. Specially, recollements of derived module categories are associated with homological conjectures in representation theory of algebras, stratifications, homological epimorphisms, Hochschild homology and cohomology, universal localizations, infinitely generated tilting modules as well as higher algebraic K-groups. In this project, we shall further improve structural theory, homology theory and K-theory for recollements of derived module categories, and apply recollements to discuss homological invariants of rings and relevant homological conjectures by reduction. Under the setting of recollements, we shall establish general estimation formulas, reduction formulas or long exact sequences for homological invariants of rings, and then employ them to investigate homological properties of rings in recollements. The project will contribute to make many new subjects, such as generalized localizations, homological exact contexts, homological subcategories of derived categories, algebraic K-theory of differential graded rings and reduction of higher algebraic K-groups and G-groups intersect at the framework of recollements.

三角范畴的粘合最早由Beilinson, Bernstein 和Deligne在研究奇异空间上perverse层的导出范畴时引入，被广泛应用于数学的各个分支，如代数表示论、代数K-理论、代数拓扑、代数几何等。特别地，导出范畴的粘合与代数表示论中的同调猜想、导出范畴的析层化、同调满同态、Hochschild同调和循环同调、泛局部化、无限生成倾斜模、高阶代数K-群等有联系。本项目将进一步完善导出模范畴粘合的构造理论、同调理论以及K-理论，并以此为基础，通过约化的方法来研究环的同调不变量以及若干同调猜想，力求建立导出模范畴粘合下的同调不变量的估计公式、约化公式或长正合序列，进而探讨相关环的同调性质。本项目将有助于推动广义泛局部化、同调正合对、导出范畴的同调子范畴、导出单环、微分分次代数的K-理论、代数K-群和G-群的约化等新生课题在粘合框架下相互交叉。

三角范畴的粘合最早由Beilinson, Bernstein 和Deligne在研究奇异空间perverse层的导出范畴时引入，被广泛应用于数学的各个分支，如代数表示论、代数K-理论、代数拓扑、代数几何等。本项目利用导出范畴和三角范畴的粘合，从同调约化的角度来研究环的同调不变量和若干同调猜想，并在已建立的导出模范畴粘合的基础上，探讨相关环的同调性质. 重点围绕导出范畴的粘合、同调正合context、非交换局部化、代数的同调维数（有限维数、控制维数、Gorenstein维数）、高阶代数K-群等展开一系列的讨论..首次引入同调正合context和非交换张量积环的概念, 构造了一类新的导出模范畴的粘合. 非交换张量积环不但推广了交换环上的张量积，而且覆盖了环论中一些经典的构造，如：环的余积、trivially twisted 张量积、Milnor square、非交换局部化、平凡扩张等..在导出模范畴粘合的框架下，研究环的同调维数或同调不变量. 一方面，探讨了环的有限维数在导出范畴粘合下的变化情况. 给定由三个环的导出范畴构成的一个粘合，若其中两个环的有限维数有限，那么可以给出第三个环的有限维数的上界，进而说明它的有限维数有限. 另一方面，探讨了环的高阶代数K-群在导出模范畴粘合下的可加性或正合性，并建立了同调正合context中相关环的高阶代数K-群的Mayer-Vietoris无限长正合序列. .从导出范畴的角度理解Nakayama猜想和Gorenstein对称猜想，探讨了导出等价下代数控制维数的变化情况. 主要研究给定代数和它上倾斜模自同态代数的控制维数之间的联系，并探讨自同态代数的导出等价和正交范畴的Gorenstein同调性质. .本项目的研究成果，将有助于理解或部分解决代数表示理论中若干同调猜想、促进三角范畴和导出模范畴的粘合在同调猜想证明中的应用.