发展方程有限元半离散系统的辛算法

基于有限元方法区域灵活性强、刚度矩阵对称、程序易标准化等特点以及辛几何算法在保持系统结构和能量方面的独特优势，本项目针对具有无穷维Hamilton形式的发展方程，如sine-Gordon方程、Korteweg-de Vries(KdV)方程和非线性Schr?dinger方程等，选取适当的有限元方法进行空间半离散，分析半离散系统的几何结构，给出对其应用辛算法进行保辛运算的严格理论证明. 然后选取与所用有限元方法相匹配的辛差分方法在时间方向进行全离散，并给出半离散及全离散格式的误差估计, 同时利用对角化等技巧协调解决高阶精度与大计算量之间的矛盾，最后通过数值试验展示有限元方法和辛几何算法高效结合的优越性.

非线性Schrödinger方程、sine-Gordon方程和Korteweg-de Vries(KdV)方程均可表示为无穷维Hamilton系统。借助于双线性元、线性三角形元、类Wilson元、EQ^{rot}_1元、Carey元等单元，利用传统的Galerkin有限元方法、传统的混合有限元方法、H^1-Galerkin混合有限元方法和一种新的混合有限元方法对这些无穷维Hamilton系统在空间方向上进行离散并分析所得的几何结构，提供了对其应用辛差分格式进行保持系统能量等内在性质的全离散逼近的理论支撑。同时，给出了半离散和全离散格式的高精度或收敛性分析，并讨论了空间和时间离散格式的阶数匹配问题。最后，采用矩阵对角化等技巧降低计算量，编制并优化了数值计算程序，所作的数值模拟验证了理论分析的正确性和优势。