随机Maxwell方程的高效多辛算法研究

Based on the splitting method, we construct some high-performance multi-symplectic geometric methods for stochastic Maxwell equations with additive noise and multiplicative noise, which also are a stochastic Hamiltonian partial differential equation. The constructed methods preserve the geometric structure and possess as many physical properties of the origin systems as possible. Comparative studies are conducted in efficiency, long time simulation, the preservation of physical properties and so on. We give the theoretical results of convergence and stability analysis for the methods. The above works will provide some high-performance algorithms for the numerical computation of stochastic electromagnetics.

本项目拟研究加性噪声和乘性噪声驱动的Maxwell方程，这类方程是随机哈密尔顿偏微分方程，主要利用分裂技巧构造高效随机多辛方法，使得构造的算法尽可能多的保持原系统的几何结构和物理性质。通过在效率、长时间数值模拟、保持物理性质等方面进行比较性研究，分析算法的收敛性、稳定性等理论性质。为随机电磁学的数值计算提供性能优越的计算方法。

本项目针对乘性噪声驱动的三维随机Maxwell方程，在空间方向上利用小波配置方法进行离散，时间方向上利用辛方法得到了具有随机多辛结构且保能量的高效数值算法；基于随机Maxwell方程的随机哈密尔顿偏微分方程形式，研究了时-空方向的龙格-库塔方法，给出了该方法具有随机多辛守恒律的条件，并将此随机多辛算法应用于随机Maxwell方程。针对守恒型随机Schrödinger方程，首次利用控制系统和不变控制集研究了具有遍历性的随机多辛算法，数值分析了该算法的弱收敛性和遍历极限的逼近误差；针对具有势的非线性随机Schrödinger方程，研究了保结构算法，并利用截断方法给出了随机辛算法的依概率收敛阶；对于耗散的Schrödinger方程研究了具有遍历性的时间并行算法，分析了当粗算法是指数欧拉、细算法是精确解时，该算法的收敛性和收敛阶；最后，通过大量数值实验验证了上述算法的理论结果。