渐近二次Hamilton系统的同宿轨

In this project we will use variational methods to investigate the existence and multiplicity of homoclinic orbits for Hamiltonian systems with asymptotically quadratic potentials. Homoclinic orbits of Hamiltonian systems is very important in Mathematical physics, also is a problem of great concern in nonlinear analysis fields. In recent two decades, many domestic and foreign scholars have used nonlinear functional analysis methods to study the existence and multiplicity of homoclinic orbits for Hamiltonian systems, and obtained rich and deep results, but less results consider the Hamiltonian systems with asymptotically quadratic potentials, especially under the conditions which will be discussed in this project. In this project we will summarize intrinsic difficultiy for these problems and find new ideas in study of these problems, aim to promote the further research on these problems, and at the same time enhance people's understanding and in-depth knowledge of these important models in Mathematical physics.

本项目拟运用变分方法研究渐近二次Hamilton系统同宿轨的存在性与多解性。Hamilton系统的同宿轨具有非常重要的数学物理意义，也是非线性分析研究领域十分关注的问题。近二十年，众多国内外学者运用非线性泛函分析方法研究其存在性与多重性，已取得了丰富而深刻的结果，但现有结果较少涉及渐近二次的情形，尤其在本项目将要讨论的几类条件下的结果几乎没有。本项目将通过分析具体问题总结这类问题的本质困难，探寻解决问题的新思路，旨在促进对这类问题的进一步关注和研究，同时加深人们对数学物理中的这类重要模型的认识和理解。

Hamilton系统的同宿轨具有非常重要的数学物理意义，也是非线性分析研究领域十分关注的问题。近二十年，众多国内外学者运用非线性泛函分析方法研究其存在性与多重性，已取得了丰富而深刻的结果，但现有结果较少涉及渐近二次的情形。本项目首先通过改进L(t)和W(t,x)的条件，获得渐近二次Hamilton系统同宿轨新的存在性和多重性结果。具体地：.① 除了非二次条件，在以往的结果中强制性或者周期性条件也是必要的。本项目首先利用集中紧性原理，在无需强制性、周期性和非二次条件的假设下得到同宿轨的存在性。我们的结果能包含二次的情形，极大地补充了已有结果。. 受到本项目的启发，我们研究了具有其它渐近性质的Hamilton系统的同宿轨的存在性，并得到如下结果：.② 在一类更弱的超二次条件，以及一类改进了的扰动结构下，讨论了具有渐近周期性质的二阶Hamilton 系统的同宿轨的存在性。这个结果推广了 [Alves C.O., Appl. Math. Lett. ,2003]和 Z. Liu [Liu Z. , Nonlinear Anal. ,2017] 中的相关工作。.③ 讨论渐近周期的分数阶Hamilton系统基态解的存在性。由于去掉了 W 严格增的假设以及技术性的空间分解条件，所以环绕定理和Nehari流形在我们这里不可用，我们方法异于以往得到基态解的方法。. 由于多体问题是特殊的奇异的Hamilton系统，因此受本项目研究过程启发得到如下结果：.④我们利用Ambrosetti和Coti Zelati的约束变分原理计算了具有固定能量的开普勒椭圆解和Lagrangian椭圆解的Lagrangian作用。我们还发现了牛顿势下拉格朗日椭圆解的周期与能量之间的有趣关系。