向量优化问题中集值映射的连续性和微分性研究

向量优化问题是最优化领域中重要的数学模型。本课题拟研究向量优化问题以及相关问题解集映射的连续性和微分性。研究扰动向量优化问题以及相关问题扰动映射和解集映射的半连续性；在解集是一般集合的条件下，研究向量优化问题以及相关问题解集映射的Lipschitz连续性以及H?lder连续性；提出更加合理的集值映射导数概念，尤其是二阶和高价导数概念；研究向量优化问题有效点扰动映射、真有效点扰动映射和弱有效点扰动映射的相依导数、原导数、半导数以及上导数的具体计算公式以及同目标空间中可行集映射所相对应的导数的有效点集、真有效点集和弱有效点集之间的包含关系；研究带上下容量限制向量交通网络系统模型的均衡原理以及与向量和标量变分不等式的关系。并借助于非线性标量函数和变分不等式的算法，得到具体可行算法。本课题研究不仅具有重要的理论意义，而且能够广泛应用到我国经济系统、通讯系统和国防系统中，为决策分析提供参考。

向量优化问题与向量平衡问题是最优化的重要研究领域之一，该项目按照原计划研究内容、研究目标以及拟解决的关键问题，对向量优化问题与向量平衡问题的稳定性、灵敏性、最优性条件、对偶、间隙函数以及误差界进行了深入的研究，在扰动向量优化以及相关问题稳定性研究方面，在保证解集映射一般是集值映射的前提下，通过引入适当的假设条件，得到解集映射的上、下半连续、Hölder连续性以及Lipschitz连续性，这些创新性研究成果完善了该领域的研究；在向量优化以及相关问题灵敏性与微分性研究方面，由于集值映射没有泰勒展开式，这使得集值优化问题的研究变得异常困难，怎样引人更加合理的集值映射的广义微分性概念，一直是人们研究的热点和难点，我们通过引入集值映射不同的微分性概念，研究了这些导数的具体计算公式，研究了研究了解映射和扰动映射的各种导数与先求对应的导数再求最小的集值映射之间的关系。同时，我们也研究了向量优化以及相关问题的最优性条件；在多指标交通网络系统均衡问题的研究方面，研究了带上下容量限制向量交通网络系统模型，考虑了多条路共用一段路的情况，通过引入两种不同的向量网络平衡原理，分别讨论了相对应的平衡流同向量变分不等式或者标量变分不等式的解之间等价的关系；在像空间分析方法研究方面，由于像空间分析方法是研究非凸非光滑优化问题的重要手段之一，借助此方法，我们提出了约束优化问题的一种一致对偶模型，讨论了原问题与对偶问题之间存在零对偶间隙的充分必要条件,说明了现有的三种对偶都是此对偶模型的特殊情况,我们也讨论了向量变分不等式问题的择一性定理、鞍点条件、充分必要最优性条件以及它的间隙函数，借助此间隙函数也研究了向量变分不等式问题的误差界；在集值映射的极大极小问题的研究中，首先我们研究了标量值的集值映射的极大极小定理和锥鞍点存在性定理，然后在不同条件下得到了量值集值映射的锥松鞍点的存在性定理，并描述了其锥松鞍点集的结构。也得到了向量值集值映射广义的极大极小定理；在平衡问题的对偶问题的研究方面，借助Fenchel对偶函数，引出了广义Ky Fan不等式问题的对偶，在适当的条件下，证明了对偶问题与原问题之间的弱对偶定理与强对偶定理。然后借助这些结论，讨论了广义Ky Fan不等式问题的Farkas型结果；在约束与无约束规划问题的算法研究方面，研究了求解无约束优化问题的共轭梯度法以及带约束非凸优化问题的数值算法。