与对合相关的Hecke代数中的若干问题

Lusztig and Vogan have introduced a involution module for the Hecke algebra of a Weyl group with basis indexed by the involutions in that Weyl group. Lusztig showed that the involution module above can be realized as a left ideal of the Hecke algebra generated by a very remarkable element of the Hecke algebra. The applicant and Jun Hu extended the module isomorphism. (1) This project will extend the module isomorphism once more to the module over the “extended Hecke algebra”...Lusztig explicitly construct a lifting from the involutions of a Weyl group to the normalizer of a maximal torus in a split reductive group, such that the image of every corresponding element n in the normalizer under the Frobenius map is equal to the inverse of n. However, its proof is based on a case-by-case verification and in the exceptional cases relies in part on a computer calculation.(2) This project will determine a unified proof for Lusztig’s lifting independent on any computer calculation...Lusztig introduced special representations of Weyl group W. It is convenient to replace irreducible representations of W with the corresponding simple modules of the asymptotic Hecke algebra J. (3) This project will show that the two-sided ideal of J, which is the sum of the simple two-sided ideals corresponding to the various special representations of Weyl group W, admits a basis consisting of nonnegative linear combinations of elements of the basis of J.

Lusztig和Vogan介绍了Weyl群的Hecke代数W的u-变形对合模,并且证明了该对合模同构于Hecke代数的一个左理想。申请人和胡峻教授推广了这个模同构。（1）本项目把上述的模同构再次推广到“扩充Weyl群的Hecke代数”的模上。.Lusztig构造了Weyl群的对合到极大环面的正规化子中的一个提升，使得对应的正规化子的元素n在Frobenius映射下等于n的逆。不过，这个证明是按照Weyl群的Lie型分别给出的，并且对于非典型的情况利用电脑做辅助计算。（2）本项目给出Lusztig提升的一个不依赖于计算机程序的统一证明。.Lusztig引入了Weyl群W的特殊不可约表示的概念，并且用渐进Hecke代数J的单模来代替W的不可约表示。（3）本项目研究对应于Weyl群的special表示的J的单双边理想的和的基，看它能否用J的标准基的非负整数集的线性组合表示。

本项目研究的扭G2型群的Sylow p-子群的超特征标理论是经典的表示论问题；Dn型Hecke代数的矩阵单位和本原幂等元对理解Hecke代数的结构有着重要意义；Jordan n-导子对研究其它代数上的结构有重要意义；Kazhdan-Lusztig左胞腔预序和支配序对于理解Coxeter群，Hecke代数和Kazhdan-Lusztig理论有着重要的科学意义。. 确定了twisted G2 型群的Sylow p-子群的超特征标理论。对于扭G2型Lie型群的Sylow p-子群，构造了其超共轭类和超特征标表，以及共轭类。当q=p=3时，计算了其特征标表。首先构造了一个1-cocyle，利用Monomial linearisation的方法，建立对应的Monomial模。在此基础上，分解Monomial模，得到轨道模，进一步研究得到超子模，进而得到超特征标。. 构造了半单Dn型Hecke代数的本原幂等元和半正规基。对于任一Dn型Hecke代数的单模，利用Dn型Hecke代数的Hecke生成元给出了相应的本原幂等元具体形式。并从Bn型Hecke代数的半正规基出发，利用两种Hecke代数之间的关系，构造了Dn型Hecke代数的本原幂等元的完全集，进而给出Dn型Hecke代数一组新的半正规基。. 证明了unital代数上的广义Jordan n-导子具有特定的分解形式。在此基础上，刻画了三角代数、矩阵代数、套代数和有界算子代数上的广义Jordan n-导子的结构性质，并推广了一些已知的结果。. 通过Robinson-Schensted-Knuth对应证明了对称群的Kazhdan-Lusztigz左胞腔预序和标准表的支配序关系。研究了An型Iwahori-Hecke代数的Kazhdan-Lusztig基和Murphy基的关系，KL基和半正规基的关系，扭KL基和对偶Murphy基的关系，扭KL基和对偶半正规基的关系。