反射群,Hecke代数和代数群的表示

We study the representations of the reflection groups and the associated Hecke algebras, which are applied to decompose the induced representations of the corresponding reductive algebraic groups. We describe the Kazhdan-Lusztig cells of the affine Weyl groups C_n~, B_n~ in both quasi-split case and equal parameter case. For any Coxeter group with a complete Coxeter graph, we check the validity of the 15 conjectures of Lusztig proposed in his 2003 book. In any affine Weyl group, we investigate the structural properties of the second lowest two-sided cell and all the left cells contained in it. We study the new conjectures concerning the connectedness of cells and the a-function. We study the cell representations for the Iwahori-Hecke algebras associated to all the above Coxeter groups and apply the results in the decomposition of the induced representations of the corresponding reductive algebraic groups over a p-adic field. We deduce a criterion for any two elements in a complex reflection group being comparable under the reflection ordering. We try to clarify how the choice of the parameters affects the semi-simplicity of a cyclotomic Hecke algebra. We establish a connection between a cyclotomic Hecke algebra H(G) and some Iwahori-Hecke algebra H(W) by which we construct some representations of H(G) analogous to the cell representations of H(W) and to decompose the induced representations of the corresponding reductive algebraic groups.

本项目研究反射群及其黑克代数的表示并用于分解相应简约代数群的诱导表示。在拟分裂和单参数两种情形下分别刻画仿射外尔群C_n~,B_n~的卡茨当-罗斯蒂克胞腔。以带有完全图的考克斯特群为切入点，研究Lusztig在03书里提出的15个猜想。在单参数情形下研究仿射外尔群的次低双边胞腔及其所含左胞腔的结构。研究关于胞腔的连通性新猜想和a函数新猜想。研究上述这些考克斯特群的伊瓦豪利-黑克代数的胞腔表示，并用于分解相应简约代数群在p-进域上的诱导表示。拟给出判断有限复反射群的任二元素具有反射序关系的判则；弄清参数选取对分圆黑克代数半单性的影响；建立分圆黑克代数H(G)与某种伊瓦豪利-黑克代数H(W)的联系；由此构造出代数H(G)的类似于H(W)的胞腔表示的某种表示，并用于分解相应简约代数群的诱导表示。

本项目按计划研究反射群及其 Hecke 代数的表示并用于分解相应简约代数群的诱导表示。在拟分裂和单参数两种情形下分别刻画了 C_n, B_n, E_6 型仿射外尔群的Kazhdan-Lusztig 胞腔（下面简称胞腔），发表相关论文 6 篇。对于任何带权泛 Coxeter 群，明显地刻画了其所有的左胞腔和双边胞腔，并在此情形下证实了 Lusztig 在2003 书里提出的 15 个猜想 P1--P15。对于其 Coxeter 图是完全图或者不含标号 3 的边的 Coxeter 群证实了 Lusztig 关于 a-函数的有界性猜想, 发表相关论文 4 篇。另有 2篇已发表的论文刻画带有完全图的 Coxeter 群的元素简约表达式集合的结构，对于取定元素给出简约表达式个数的递推式和精确公式。还有 1 篇将发表的论文刻画 Coxeter群元素之间的 Bruhat 序，揭示了很多有趣性质。此外，有三篇研究对称空间的 Springer 对应和 Spaltenstein 簇结构的文章已投稿， 正在审阅。