非对易经典和量子力学若干问题的研究

Due to the development of string theories, noncommutativity becomes one of the focus research fields in theoretical physics at present. Previous studies showed that both Lorentz and Gelilean symmetries will be voilated in canonical noncommutative space which is described by constants commutators among coordinates. Therefore, in this project, we shall study some classical and quantum mechanical problems in non-canonical noncommutative space. It contains the following three items：1) The classical and quantum properties of harmonic oscillators in a momentum-independent non-canonical noncommutative space; 2) The symmetries and spectral of non-relativistic particles in the Lie algebra type noncommutative; 3) The exactly solutions and symmetries as well as the applications of relativistic quantum mechanical models in the spin-dependent noncommutative space. The purposes of this project are to enlarge our understandings of non-canonical noncommutative space, find new mathematic strustures in noncommutative space and develop new methods to solve the models in those non-canonical noncommutative space both for classical and quantum aspects. Finally, we also hope that our research may afford new mathematic methods to study the problems in non-canonical noncommutative space.

超弦理论所引发的关于空间非对易性的研究是当今理论物理的热点问题之一。先前的研究表明，正则形式（坐标之间的对易子为常数）的非对易空间不能保持洛伦兹和伽利略对称性。因此，本项目拟研究非正则形式非对易空间中经典和量子力学中的若干问题及其应用。主要包含以下三个方面的研究内容：1）非对易参数与动量相关时，非正则形式的非对易空间中谐振子的经典和量子力学问题的精确解、对称性及其连续极限问题；2）Lie代数型非对易空间中非相对论性粒子的对称性和能级的研究；3）非对易空间中当坐标之间的对易关系与自旋相关时，非对易相对论性量子力学模型的精确解、对称性以及在石墨烯研究中的应用等问题。 拟通过该项目的研究，丰富我们对非正则非对易空间中的经典和量子体系理解，发现新的数学结构，发展精确求解非正则非对易空间的经典和量子力学模型的方法，拓展研究非正则非对易空间中物理问题的数学方法。

我们将Dirac谐振子的相变问题推广到了非对易空间中，发现空间的非对易性会对Dirac谐振子的手征相变量子相变产生影响：由于空间的非对易性，与普通空间中的Dirac谐振子的手征量子相变相比，非对易空间中Dirac谐振子的手征量子相变的临界点会发生移动。这为从实验上判断空间的非对易性提供了可能的途径。对非对易空间和非对易相空间中任意子的研究，我们的研究发现，对于非对易平面上的带电粒子与磁场耦和AB磁矢势耦合的模型中，有两种不同的途径获取分数角动量：第一种方式是取该粒子的质量趋于零的极限。其实，该极限过程等价于取强磁场极限；第二种方式让磁场取某一个特殊值，该特殊值恰为先前的研究中所预言的量子相变的临界值。对非对易相空间研究中，我们发现，与非对易空间相类似，也有两种途径获得分数角动量，为别将粒子的质量趋于零的极限和当磁场强度达到某一特殊值的时候，粒子的轨道角动量的本征值会发生突变，从分立的整数取值突变为分数。但是，与前一项研究不同的是，该分数部分包含有非对易的信息，也就是说该分数值会受空间非对易性的调制。这为我们判断是非对易空间或者是非对易相空间提供了可能的方法。对非对易空间中相对论性粒子与狭义相对论的相容性问题的研究，从对易空间中的含有磁场的DKP方程着手，分别研究了自旋为0和自旋为1的粒子的情况。我们的研究表明，对于对易空间，不管磁场强度取什么样的极限，粒子的波包的运动速度都不可能超越光速。但是对于非对易空间，该结论不正确。由于空间非对易的影响，我们发现，只要磁场强度足够大，在非对易空间中，自旋是0和1的粒子的运动速度都可以超过光速，因而，对于自旋为0和自旋为1的相对论性玻色子，由于空间非对易的影响，与狭义相对论也不相容。我们研究了非对易空间下二维Duffin-Kemmer-Petiau（DKP）谐振子热力学性质，在动量空间中研究了非对易平面下自旋为0和1的且与磁场相互耦合的DKP谐振子同时考虑广义不确定关系，以及非对易平面下与磁场相互耦合的KG谐振子等。